Question

【題目】已知， 為橢圓： 的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上，且面積的最大值為．

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）若直線與橢圓交于， 兩點(diǎn)， 的面積為1， （， ），當(dāng)點(diǎn)在橢圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，試問(wèn)是否為定值？若是定值，求出這個(gè)定值；若不是定值，求出的取值范圍．

Answer 1

【答案】（I）；（II）為定值.

【解析】試題分析：

(1)利用題意求得，即有橢圓的方程為．

(2)利用題意聯(lián)立直線與橢圓的方程，設(shè)而不求可得為定值．

試題解析：（Ⅰ）由題意得，

當(dāng)為短軸端點(diǎn)時(shí)， 面積取得最大值，

解得， ，

即有橢圓的方程為．

（Ⅱ）設(shè)直線的方程為，代入橢圓方程，

可得，

設(shè)， ，

即有， ，

，

化簡(jiǎn)可得．

設(shè)，由，可得， ．

又因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，所以有，

整理可得： ，

即為．

由， ，

可得

，

可得，即有為定值．