Question

已知函數(shù)f（x）=1+x-

x2

2

+

x3

3

-

x4

4

+…+

x2015

2015

，g（x）=1-x+

x2

2

-

x3

3

+…-

x2015

2015

，設(shè)F（x）=f（x+3）•g（x-4），且函數(shù)F（x）的零點(diǎn)均在區(qū)間[a，b]（a＜b，a，b∈Z）內(nèi)，則b-a的最小值（　　）

• A、8
• B、9
• C、10
• D、11

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)零點(diǎn)的判定定理

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：利用導(dǎo)數(shù)分別求出函數(shù)f（x）、g（x）的零點(diǎn)所在的區(qū)間，然后要求F（x）=f（x+3）•g（x-4）的零點(diǎn)所在區(qū)間，即求f（x+3）的零點(diǎn)和g（x-4）的零點(diǎn)所在區(qū)間，根據(jù)圖象平移即可求得結(jié)果．

解答： 解∵f（0）=1＞0，f（-1）=1-1-

1

2

-

1

3

-…-

1

2015

＜0，
∴函數(shù)f（x）在區(qū)間（-1，0）內(nèi)有零點(diǎn)；
當(dāng)x∈（-1，0）時(shí)，f′（x）=

1+x2015

1+x

＞0，
∴函數(shù)f（x）在區(qū)間（-1，0）上單調(diào)遞增，
故函數(shù)f（x）有唯一零點(diǎn)x∈（-1，0）；
∵g（1）=1-1+

1

2

-

1

3

+…-

1

2015

＞0，g（2）=1-2+

22

2

-

23

3

+…+

22014

2014

-

22015

2015

＜0．
當(dāng)x∈（1，2）時(shí)，f′（x）=-1+x-x²+x³-…+x²⁰¹³-x²⁰¹⁴=

x2014-1

x+1

＞0，
∴函數(shù)g（x）在區(qū)間（1，2）上單調(diào)遞增，故函數(shù)g（x）有唯一零點(diǎn)x∈（1，2）；
∵F（x）=f（x+3）•g（x-4），且函數(shù)F（x）的零點(diǎn)均在區(qū)間[a，b]（a＜b，a，b∈Z）內(nèi)，
∴f（x+3）的零點(diǎn)在（-4，-3）內(nèi)，g（x-4）的零點(diǎn)在（5，6）內(nèi)，
因此F（x）=f（x+3）•g（x-3）的零點(diǎn)均在區(qū)間[-4，6]內(nèi)，
∴b-a的最小值為10．
故選：C

點(diǎn)評：本題考查函數(shù)零點(diǎn)判定定理和利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性以及數(shù)列求和問題以及函數(shù)圖象的平移，體現(xiàn)了分類討論的思想，以及學(xué)生靈活應(yīng)用知識(shí)分析解決問題的能力．屬于中檔題