Question

已知中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的橢圓C的離心率為

1

2

，兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，M是橢圓上一點(diǎn)，且△MF₁F₂的周長為6．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若M（1，

3

2

），則是否存在過點(diǎn)P（2，1）的直線l與橢圓C相交于不同的兩點(diǎn)A，B，滿足

PA

•

PB

=

PM

²．若存在，求出直線l的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

專題：向量與圓錐曲線

分析：（1）由

c

a

=

1

2

，2a+2c=6求出a，c的值，再由a²=b²+c²可得到a，b的值，進(jìn)而得到橢圓的方程；
（2）假設(shè)存在直線滿足條件，設(shè)直線方程為y=k（x-2）+1，然后與橢圓方程聯(lián)立消去y得到一元二次方程，且方程一定有兩根，故應(yīng)△大于0得到k的范圍，進(jìn)而可得到兩根之和、兩根之積的表達(dá)式，再由

PA

•

PB

=

PM

²可確定k的值，從而得解．

解答： 解：（1）設(shè)橢圓C的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=11（a＞b＞0），
∵e=

c

a

=

1

2

，且2a+2c=6，解得a=2，c=1，
∴b²=a²-c²=3，
故橢圓C的方程為

x2

4

+

y2

3

=1；
（2）若存在直線l滿足條件，由題意可設(shè)直線l的方程為y=k（x-2）+1，
聯(lián)立

x2 4 + y2 3 =1 y=k(x-2)+1

，
得（3+4k²）x²-8k（2k-1）x+16k²-16k-8=0．
∵直線l與橢圓C相交于不同的兩點(diǎn)A，B，
設(shè)A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂），
所以△=[-8k（2k-1）]²-4•（3+4k²）•（16k²-16k-8）＞0．
整理得32（6k+3）＞0．
解得k＞-

1

2

，
又x1+x2=

8k(2k-1)

3+4k2

，x1x2=

16k2-16k-8

3+4k2

，
∵

PA

•

PB

=

PM

²，即（x₁-2）（x₂-2）+（y₁-1）（y₂-1）=

5

4

，
∴（x₁-2）（x₂-2）（1+k²）=|PM|²=

5

4

．
即[x₁x₂-2（x₁+x₂）+4]（1+k²）=

5

4

．
∴[

16k2-16k-8

3+4k2

-2•

8k(2k-1)

3+4k2

+4](1+k2)=

4+4k2

3+4k2

=

5

4

．
解得k=±

1

2

．
∵A，B為不同的兩點(diǎn)，
∴k=

1

2

．
于是存在直線l滿足條件，其方程為y=

1

2

x．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查橢圓的基本性質(zhì)和直線與橢圓的綜合題．直線與圓錐曲線的綜合題是高考的重點(diǎn)題型，是壓軸題．