Question

3．已知橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，以橢圓上任一點與左，右焦點F₁，F(xiàn)₂為頂點的三角形的周長為4（$\sqrt{2}$+1）．
（Ⅰ）求橢圓的標準方程；
（Ⅱ）若直線l₁過原點O，直線l₂與直線l₁相交于點Q，|$\overrightarrow{OQ}$|=1，且l₂⊥l₁，直線l₂與橢圓交于A，B兩點，問是否存在這樣的直線l₂，使$\overrightarrow{AQ}$•$\overrightarrow{BQ}$=-1成立．若存在，求出直線l₂的方程；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意，得2a+2c=4（$\sqrt{2}$+1），$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，求出a，b，c，即可求橢圓的標準方程；
（2）分類討論，根據(jù)$\overrightarrow{AQ}$•$\overrightarrow{BQ}$=-1，|$\overrightarrow{OQ}$|=1進行轉(zhuǎn)化，將直線l₂的方程為mx+ny=1代入橢圓方程，利用x₁x₂+y₁y₂=0，即可得出結(jié)論．

解答 解：（Ⅰ）由題意，得2a+2c=4（$\sqrt{2}$+1），$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，…（2分）
∴a=2$\sqrt{2}$c=2，b=2．
∴橢圓的標準方程為$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$．   …（4分）
（Ⅱ）假設存在直線l₂，使$\overrightarrow{AQ}$•$\overrightarrow{BQ}$=-1成立．
設A，B兩點的坐標分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂），Q（m，n），且m²+n²=1，
則直線l₁的方程為nx-my=0，直線l₂的方程為mx+ny=1．
（1）當n=0時，此時直線l₂的方程為x=±1，可得A（1，$\frac{\sqrt{14}}{2}$），B（1，-$\frac{\sqrt{14}}{2}$），
代入$\overrightarrow{AQ}$•$\overrightarrow{BQ}$=-1，不符題意；  …（5分）
（2）當n≠0時，將直線l₂的方程為mx+ny=1與橢圓方程$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$聯(lián)立，
又m²+n²=1，得 （1+m²）x²-4mx+2-8n²=0．    …（6分）
∴x₁+x₂=$\frac{4m}{1+{m}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{2-8{n}^{2}}{1+{m}^{2}}$．       …（7分）
又∵$\overrightarrow{AQ}$•$\overrightarrow{BQ}$=-1，
∴x₁x₂+y₁y₂+2=m（x₁+x₂）+n（y₁+y₂）．
又 mx₁+ny₁=1，mx₂+ny₂=1
∴m（x₁+x₂）+n（y₁+y₂）=2．
∴x₁x₂+y₁y₂=0．    …（9分）
∴n²x₁x₂+1+m²x₁x₂-m（x₁+x₂）=0．
∴x₁x₂+1-m（x₁+x₂）=0．   …（11分）
∴-5n²=0．
∴n=0這與n≠0矛盾．   …（12分）
綜上可知，不存在這樣的直線l₂，使$\overrightarrow{AQ}$•$\overrightarrow{BQ}$=-1成立．   …（13分）

點評 本題考查橢圓方程，考查直線與橢圓的位置關系，考查分類討論的數(shù)學思想，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．