Question

8．已知a，b是異面直線．a(chǎn)上有兩點(diǎn)A，B，距離為8，b上有兩點(diǎn)C，D，距離為6，BD，AC的中點(diǎn)分別為M，N，且MN=5，求證：a⊥b．

Answer 1

分析 連結(jié)AD，并取線段AD的中點(diǎn)P，連結(jié)MP、NP，證明∠MPN為AB與CD所成的角，即異面直線a、b所成的角，證明a、b所成角為90°即可．

解答 證明：連結(jié)AD，并取線段AD的中點(diǎn)P，連結(jié)MP、NP．
∵M(jìn)為BD的中點(diǎn)，P為AD的中點(diǎn)，∴MP∥AB
同理 PN∥CD，
∴∠MPN為AB與CD所成的角，即異面直線a、b所成的角．
在△MPN中，MN=5，MP=AB=4，NP=CD=3
∴∠MPN=90°，即a、b所成角為90°，
∴a⊥b．

點(diǎn)評 本題主要考查異面直線垂直，考查空間中異面直線所成的角，此題屬于中檔題，解決此類問題的關(guān)鍵是熟練掌握解三角形的一個知識，將題設(shè)中所給的三個條件轉(zhuǎn)化到一個三角形中．