Question

【題目】設(shè)函數(shù).

（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的值域；

（2）若對(duì)任意，恒有，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）若，則，根據(jù)和得到分段函數(shù)，進(jìn)而可得的值域；

（2）對(duì)任意，恒有，即恒成立，，

則對(duì)任意，恒成立，構(gòu)造函數(shù)和函數(shù)討論即可.

（1）當(dāng)時(shí)，，即

當(dāng)時(shí)，，

此時(shí)，

當(dāng)時(shí)，，

此時(shí)，

綜上：的值域?yàn)?/span>.

（2）對(duì)任意，恒有，即恒成立，所以，

所以對(duì)任意，恒成立，

設(shè)，對(duì)任意，恒有，

因為開口向上，其對(duì)稱軸為的二次函數(shù)，則在區(qū)間上單調(diào)遞增，

所以，解得，

故對(duì)任意，恒有時(shí)的取值范圍為

設(shè)，對(duì)任意，恒有，因為開口向上，其對(duì)稱軸為的二次函數(shù)，

當(dāng)，即時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞增，

所以，解得，所以，

當(dāng)，即時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞減，

所以，解得，所以，

當(dāng)，即時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，

所以 ，解得或（舍）

所以，故對(duì)任意，，時(shí)的取值范圍為

綜上對(duì)任意，恒有時(shí)，的取值范圍為.