Question

（2009•武漢模擬）函數(shù)f（x）=ln（

x2+x+1

-

x2-x+1

）的值域為（　　）

A．（-∞，0）

B．（-1，0）

C．（0，1）

D．（0，+∞）

Answer 1

分析：先求得函數(shù)f（x）的定義域，對t=

x2+x+1

-

x2-x+1

進行變形，根據(jù)兩點間距離公式可知該式表示動點P（x，0）（x＞0）到定點A（-

1

2

，

3

2

）與定點B（

1

2

，

3

2

）的距離之差，結(jié)合圖象可求得其范圍，進而利用對數(shù)函數(shù)y=lnt的單調(diào)性可求得f（x）的值域．

解答：解：由

x2+x+1

-

x2-x+1

＞0，得x＞0，
所以f（x）的定義域為（0，+∞），
t=

x2+x+1

-

x2-x+1

=

(x+ 1 2 )2+ 3 4

-

(x- 1 2 )2+ 3 4

，可看作動點P（x，0）（x＞0）到定點A（-

1

2

，

3

2

）與定點B（

1

2

，

3

2

）的距離之差，
易知（|PA|-|PB|）∈（0，1），
而y=lnt在（0，1）上遞增，所以y∈（-∞，0），即f（x）的值域為（-∞，0），
故選A．

點評：本題考查復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性、兩點間距離公式，考查學(xué)生靈活運用所學(xué)知識分析解決問題的能力，屬中檔題．