【題目】如圖,在棱長(zhǎng)為1的正方體中,點(diǎn)在上移動(dòng),點(diǎn)在上移動(dòng),,連接.
(1)證明:對(duì)任意,總有∥平面;
(2)當(dāng)的長(zhǎng)度最小時(shí),求二面角的平面角的余弦值。
【答案】(1)見解析;(2)
【解析】
作∥,交于點(diǎn),作∥,交于點(diǎn),連接.通過證明四邊形為平行四邊形,可得∥,再根據(jù)直線與平面平行的判斷定理可證.
(2)根據(jù)題意計(jì)算得 ,再配方可得取最小值時(shí) 分別為的中點(diǎn),再取 為 , 連接,,,
可得是二面角的平面角,再計(jì)算可得.
(1)證明:如圖,作∥,交于點(diǎn),
作∥,交于點(diǎn),連接.
由題意得∥,且,則四邊形為平行四邊形.
∴∥.
又∵,,
∴∥.
(2)由(1)知四邊形為平行四邊形,∴.
∵,∴.
∵,∴,.
即,
故當(dāng)時(shí),的長(zhǎng)度有最小值。
分別取,的中點(diǎn)、,連接,,。
易知,,故是二面角的平面角
在中,。所以.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)若對(duì)區(qū)間內(nèi)的任意實(shí)數(shù),都有,則實(shí)數(shù)的取值范圍是( )
A. B. C. D.
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【題目】《九章算術(shù)》是我國(guó)古代數(shù)學(xué)成就的杰出代表作,其中《方田》章給出計(jì)算弧田面積所用的經(jīng)驗(yàn)方式為:弧田面積=(弦×矢+矢2),弧田(如圖)由圓弧和其所對(duì)弦所圍成,公式中“弦”指圓弧所對(duì)弦長(zhǎng),“矢”等于半徑長(zhǎng)與圓心到弦的距離之差,現(xiàn)有圓心角為,半徑等于米的弧田,按照上述經(jīng)驗(yàn)公式計(jì)算所得弧田面積約是
A. 平方米 B. 平方米
C. 平方米 D. 平方米
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在矩形中,,,為線段的中點(diǎn),如圖1,沿將折起至,使,如圖2所示.
(1)求證:平面平面;
(2)求二面角的余弦值.
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【題目】某公司計(jì)劃明年用不超過6千萬元的資金投資于本地養(yǎng)魚場(chǎng)和遠(yuǎn)洋捕撈隊(duì).經(jīng)過對(duì)本地養(yǎng)魚場(chǎng)年利潤(rùn)率的調(diào)研,其結(jié)果是:年利潤(rùn)虧損10%的概率為0.2,年利潤(rùn)獲利30%的概率為0.4,年利潤(rùn)獲利50%的概率為0.4,對(duì)遠(yuǎn)洋捕撈隊(duì)的調(diào)研結(jié)果是:年利潤(rùn)獲利為60%的概率為0.7,持平的概率為0.2,年利潤(rùn)虧損20%的可能性為0.1. 為確保本地的鮮魚供應(yīng),市政府要求該公司對(duì)遠(yuǎn)洋捕撈隊(duì)的投資不得高于本地養(yǎng)魚場(chǎng)的投資的2倍.根據(jù)調(diào)研數(shù)據(jù),該公司如何分配投資金額,明年兩個(gè)項(xiàng)目的利潤(rùn)之和最大值為_________千萬.
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【題目】為了預(yù)防某流感病毒,某學(xué)校對(duì)教室進(jìn)行藥熏消毒,室內(nèi)每立方米空氣中的含藥量(單位:毫克)隨時(shí)間(單位:)的變化情況如下圖所示,在藥物釋放的過程中,與成正比:藥物釋放完畢后,與的函數(shù)關(guān)系式為(為常數(shù)),根據(jù)圖中提供的信息,回答下列問題:
(1)寫出從藥物釋放開始,與之間的函數(shù)關(guān)系式.
(2)據(jù)測(cè)定,當(dāng)空氣中每立方米的含藥量降低到0.25毫克以下時(shí),學(xué)生方可進(jìn)教室學(xué)習(xí),那么從藥物釋放開始,至少需要經(jīng)過多少小時(shí)后,學(xué)生才能回到教空?
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【題目】已知函數(shù).
(1)若恒成立,求實(shí)數(shù)的最大值;
(2)在(1)成立的條件下,正實(shí)數(shù),滿足,證明:.
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【題目】從某工廠的一個(gè)車間抽取某種產(chǎn)品件,產(chǎn)品尺寸(單位:)落在各個(gè)小組的頻數(shù)分布如下表:
數(shù)據(jù)分組 | |||||||
頻數(shù) |
(1)根據(jù)頻數(shù)分布表,求該產(chǎn)品尺寸落在的概率;
(2)求這件產(chǎn)品尺寸的樣本平均數(shù);(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表)
(3)根據(jù)頻數(shù)分布對(duì)應(yīng)的直方圖,可以認(rèn)為這種產(chǎn)品尺寸服從正態(tài)分布,其中近似為樣本平均值,近似為樣本方差,經(jīng)過計(jì)算得,利用該正態(tài)分布,求.
附:①若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布,則,;②.
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