Question

在矩形ABCD中，AB=1，BC=2，沿著對角線AC將△ACD折起，得到四面體D-ABC，在四面體D-ABC中，給出下列命題：

①若二面角D-AC-B的大小為90°，則點(diǎn)D在平面ABC的射影一定在棱AC上；
②無論二面角D-AC-B的大小如何，若在棱AC上任取一點(diǎn)M，則BM+DM的最小值為

4 5

5

；
③無論二面角D-AC-B的大小如何，該四面體D-ABC的外接球半徑不變；
④無論二面角D-AC-B的大小如何，若點(diǎn)O為底面ABC內(nèi)部一點(diǎn)，且

OA

+2

OB

+3

OC

=0，則四面體D-AOB與四面體D-BOC的體積之比為3：1．
其中你認(rèn)為正確的所有命題的序號是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：閱讀型,空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：①過D作DH⊥AC，垂足為H，運(yùn)用面面垂直的性質(zhì)定理，即可判斷；
②在原矩形中，連接BD，交點(diǎn)為O，M與O重合，則BM+DM最小，即可判斷；
③取AC的中點(diǎn)為O，連接OB，OD，由平面幾何知識，即可判斷；
④延長OB到B'，使OB'=2OB，延長OC到C'，使OC'=3OC，則O為△AB'C'的重心，運(yùn)用重心分成的三個三角形的面積相等，再由棱錐的體積公式，即可得到．

解答： 解：①過D作DH⊥AC，垂足為H，
則由平面DAC⊥平面ABC，得到DH⊥平面ABC，故①對；
②在原矩形中，連接BD，交點(diǎn)為O，則無論二面角D-AC-B的大小如何，若在棱AC上任取一點(diǎn)M，M與O重合，則BM+DM最小，且為BD=

5

．故②錯；
③無論二面角D-AC-B的大小如何，取AC的中點(diǎn)為O，連接OB，OD，則OA=OB=OC=OD，
該四面體D-ABC的外接球半徑不變．故③對；
④若點(diǎn)O為底面ABC內(nèi)部一點(diǎn)，且

OA

+2

OB

+3

OC

=

0

，
延長OB到B'，使OB'=2OB，
延長OC到C'，使OC'=3OC，
則O為△AB'C'的重心，
則有△AOB'和△OB'C'的面積相等，即有2S_△AOB=6S_△BOC，
即S_△AOB=3S_△BOC，故四面體D-AOB與四面體D-BOC的體積之比為3：1．故④對．
故答案為：①③④

點(diǎn)評：本題考查空間直線與平面的位置關(guān)系：垂直的判定和性質(zhì)，考查折疊前后的變化及最值和運(yùn)用平面幾何知識解決的方法，同時考查棱錐體積的計(jì)算，注意運(yùn)用重心的性質(zhì)，本題屬于中檔題．