Question

9．已知函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)f′（x），滿足xf′（x）+2f（x）=$\frac{1}{{x}^{2}}$，且f（1）=1，則函數(shù)f（x）的最大值為$\frac{e}{2}$．

Answer 1

分析 根據(jù)條件xf'（x）+2f（x）=$\frac{1}{x^2}$構(gòu)造函數(shù)F（x）=x²f（x）-lnx，通過對導(dǎo)數(shù)的分析，得出F（x）為常數(shù)函數(shù)，進(jìn)而求得f（x）的解析式，再運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求該函數(shù)的最大值．

解答 解：構(gòu)造函數(shù)F（x）=x²f（x）-lnx，且F（1）=1²f（1）-ln1=1，
則F'（x）=x²f'（x）+2xf（x）-$\frac{1}{x}$=x[xf'（x）+2f（x）-$\frac{1}{x^2}$]，
∵xf'（x）+2f（x）=$\frac{1}{x^2}$，
∴F'（x）=0恒成立，即F（x）為常數(shù)函數(shù)，
由于F（1）=1，所以F（x）=x²f（x）-lnx=1，
分離f（x）得，f（x）=$\frac{1+lnx}{x^2}$，令f'（x）=-$\frac{1+2lnx}{x^3}$=0，解得x=${e}^{-\frac{1}{2}}$，
且x∈（0，${e}^{-\frac{1}{2}}$），f'（x）＞0，x∈（${e}^{-\frac{1}{2}}$，+∞），f'（x）＜0，
所以，x∈（0，${e}^{-\frac{1}{2}}$）函數(shù)遞增，（${e}^{-\frac{1}{2}}$，+∞）單調(diào)遞減，
所以，f（x）_max=f（x）_極大值=f（${e}^{-\frac{1}{2}}$）=$\frac{e}{2}$，
故填：$\frac{e}{2}$．

點(diǎn)評 本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算，并運(yùn)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和單調(diào)區(qū)間，求函數(shù)最值，合理構(gòu)造函數(shù)是解決本題的關(guān)鍵，屬于難題．