Question

13．已知函數(shù)f（x）=sinx（cosx-sinx）+$\frac{1}{2}$
（1）若$\frac{π}{2}＜α＜π$，sinα=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，求f（α）的值；
（2）求函數(shù)f（x）的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）利用同角三角函數(shù)關(guān)系求得$cosα=-\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，所以將f（α）代入函數(shù)解析式，由特殊角的三角函數(shù)值進(jìn)行解答即可；
（2）由二倍角公式和輔助角公式將函數(shù)轉(zhuǎn)化為正弦函數(shù)：f（x）=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}sin（2x+\frac{π}{4}）$，根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)解答．

解答 解：（1）因?yàn)?\frac{π}{2}＜α＜π$，sinα=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
所以$cosα=-\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
所以$f（α）=\frac{{\sqrt{2}}}{2}×（-\frac{{\sqrt{2}}}{2}-\frac{{\sqrt{2}}}{2}）+\frac{1}{2}$=$-\frac{1}{2}$．
（2）因?yàn)?f（x）=sinxcosx-{sin^2}x+\frac{1}{2}$
=$\frac{1}{2}sin2x-\frac{1-cos2x}{2}+\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}sin2x+\frac{1}{2}cos2x$=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}sin（2x+\frac{π}{4}）$                   
所以最小正周期$T=\frac{2π}{2}=π$．
由$2kπ-\frac{π}{2}≤2x+\frac{π}{4}≤2kπ+\frac{π}{2}，k∈Z$，
得kπ-$\frac{3π}{8}$≤x≤kπ+$\frac{π}{8}$，k∈Z．
所以f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[kπ-$\frac{3π}{8}$，kπ+$\frac{π}{8}$]，k∈Z．

點(diǎn)評 本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，利用三角函數(shù)公式將函數(shù)進(jìn)行化簡是解決本題的關(guān)鍵．