Question

2．在一次物理與化學(xué)兩門功課的聯(lián)考中，備有6到物理題，4道化學(xué)題，共10道題可供選擇．要求學(xué)生從中任意選取5道作答，答對4道或5道即為良好成績，每道題答對與否相互沒有影響，設(shè)隨機變量ξ為所選5道題中化學(xué)題的題數(shù)．
（1）求ξ的分布列及其均值；
（2）若學(xué)生甲隨機選定了5道題，且答對任意一題的概率均為0.6，求甲沒有取得良好成績的概率．

Answer 1

分析 （1）ξ的不同取值為0，1，2，3，4．P（ξ=k）=$\frac{{∁}_{6}^{5-k}{∁}_{4}^{k}}{{∁}_{10}^{5}}$（k=0，1，2，3，4），進而得出E（ξ）．
（2）因為每道題答對與否相互沒有影響，所以甲選定的5道題之間是獨立的．設(shè)甲取得良好成績的事件為A，P（A）=${C_5}^4×{0.6^4}×0.4+{C_5}^5×{0.6^5}$，則甲沒有得到良好成績的概率為：1-P（A）．

解答 解：（1）ξ的不同取值為0，1，2，3，4．P（ξ=k）=$\frac{{∁}_{6}^{5-k}{∁}_{4}^{k}}{{∁}_{10}^{5}}$（k=0，1，2，3，4），
P（ξ=0）=$\frac{1}{42}$，P（ξ=1）=$\frac{5}{21}$，P（ξ=2）
=$\frac{10}{21}$，P（ξ=3）=$\frac{5}{21}$，P（ξ=4）=$\frac{1}{42}$．
ξ的分布列為：

ξ	0	1	2	3	4
P	$\frac{1}{42}$	$\frac{5}{21}$	$\frac{10}{21}$	$\frac{5}{21}$	$\frac{1}{42}$

E（ξ）=0×$\frac{1}{42}$+1×$\frac{5}{21}$+2×$\frac{10}{21}$+3×$\frac{5}{21}$+4×$\frac{1}{42}$=2．
（2）因為每道題答對與否相互沒有影響，所以甲選定的5道題之間是獨立的．
設(shè)甲取得良好成績的事件為A，P（A）=${C_5}^4×{0.6^4}×0.4+{C_5}^5×{0.6^5}$=0.33696．
則甲沒有得到良好成績的概率為：1-P（A）=0.66304．

點評 本題考查了相互獨立、超幾何分布列及其概率計算公式及其數(shù)學(xué)期望，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．