Question

8．設(shè)-$\sqrt{2}$≤a≤$\sqrt{2}$，b≠0，a，b∈R，則（a-b）²+（$\sqrt{2-{a}^{2}}$-$\frac{9}$）²的最小值為8．

Answer 1

分析 將式子（a-b）²+（$\sqrt{2-{a}^{2}}$-$\frac{9}$）²可以看成：動(dòng)點(diǎn)P（a，$\sqrt{2-{a}^{2}}$）與動(dòng)點(diǎn)Q（b，$\frac{9}$）之間距離的平方，再結(jié)合幾何意義求最小值．

解答 解：式子（a-b）²+（$\sqrt{2-{a}^{2}}$-$\frac{9}$）²可以看成：
動(dòng)點(diǎn)P（a，$\sqrt{2-{a}^{2}}$）與動(dòng)點(diǎn)Q（b，$\frac{9}$）之間距離的平方，其中，
點(diǎn)P在半圓x²+y²=2（y≥0）上，圓心為O，半徑r=$\sqrt{2}$，
點(diǎn)Q在雙曲線xy=9上，如右圖，
根據(jù)基本不等式，|OQ|=$\sqrt{b^2+\frac{81}{b^2}}$≥3$\sqrt{2}$，
所以，|PQ|_min=|OQ|_min-r=3$\sqrt{2}$-$\sqrt{2}$，
因此，原式的最小值為：（3$\sqrt{2}$-$\sqrt{2}$）²=8，
故填：8．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了雙曲線與圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)，考查了數(shù)形結(jié)合思想和轉(zhuǎn)化思想、推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．