Question

如圖，多面體ABC-A₁B₁C₁和它的三視圖．
（1）線段CC₁上是否存在一點E，使BE⊥平面A₁CC₁，若不存在請說明理由，若存在請找出并證明；
（2）求平面C₁A₁C與平面A₁CA夾角的余弦值．

Answer 1

考點：直線與平面垂直的判定,二面角的平面角及求法

專題：證明題,空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）由題意知AA₁，AB，AC兩兩垂直，建立空間直角坐標系，設存在一點E，使BE⊥平面A₁CC₁，設

CE

=λ

EC1

，由此利用向量法能求出線段CC₁上存在一點E，滿足

CE

=2

EC1

，使BE⊥平面A₁CC₁．
（2）求出平面C₁A₁C的法向量和平面A₁CA的一個法向量，利用向量法能求出平面C₁A₁C與平面A₁CA夾角余弦值．

解答： 證明：（1）由已知知AA₁，AB，AC兩兩垂直，如圖建系，BC=2

2

，則A（0，0，0），
A₁（0，0，2），B（-2，0，0），C（0，-2，0），C₁（-1，-1，2），

CC1

=(-1，1，2)

A1C1

=(-1，-1，0)，

A1C

=(0，-2，-2)．…（1分）
設E（x，y，z），則

CE

=(x，y+2，z)

，& EC1

=(-1-x，-1-y，2-z)…（3分）
設

CE

=λ

EC1

，⇒

x=-λ-λx y+2=-λ-λy z=2λ-λz

則E(

-λ

1+λ

，

-2-λ

1+λ

，

2λ

1+λ

)，

BE

=(

2+λ

1+λ

，

-2-λ

1+λ

，

2λ

1+λ

)…（4分）
由

BE • A1C1 =0 BE • A1C =0

⇒

- 2+λ 1+λ + 2+λ 1+λ =0 -2-λ 1+λ + 2λ 1+λ =0

，得λ=2
所以線段CC₁上存在一點E，

CE

=2

EC1

，使BE⊥平面A₁CC₁…（6分）
另證：補形成正方體，易證CE：EC₁=2：1
（2）設平面A₁C₁C的法向量為

m

=(x，y，z)，則由

m • A1C1 =0 m • A1C =0

，得

-x-y=0 -2y-2z=0

，
取x=1，則y=-1，z=1．故

m

=(1，-1，1)，…（8分）
而平面A₁AC的一個法向量為

n

=(1，0，0)，則cos＜

m

，

n

＞=

m • n

| m || n |

=

1

3

=

3

3

…（11分）
平面C₁A₁C與平面A₁CA夾角的余弦值為

3

3

…（12分）

點評：本題考查直線與平面平行的證明，考查直線與平面垂直的證明，考查平面與平面的夾角的余弦值的求法，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．