【題目】如圖,三棱錐P﹣ABC中,PB⊥底面ABC,∠BCA=90°,PB=BC=CA=2,E為PC的中點(diǎn),M為AB的中點(diǎn),點(diǎn)F在PA上,且2PF=FA.

(1)求證:BE⊥平面PAC;
(2)求證:CM∥平面BEF;
(3)求平面ABC與平面BEF所成的二面角的平面角(銳角)的余弦值.

【答案】
(1)證明:∵BP=BC,EP=EC,∴BE⊥PC.

∵PB⊥底面ABC,∴PB⊥AC,

又AC⊥BC,PB∩BC=B,∴AC⊥平面PBC,

∴AC⊥BE.

又PC∩AC=C,∴BE⊥平面PAC.


(2)證明:取AF得中點(diǎn)Q,連接CQ,MQ.

∵2PF=FA,∴點(diǎn)F為PQ的中點(diǎn),

由三角形的中位線定理可得EF∥CQ,BF∥MQ,

又CQ∩MQ=Q,∴平面BEF∥平面CMQ,

∴CM∥平面BEF.


(3)證明:建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

則B(0,0,0),P(0,0,2),C(2,0,0),A(2,2,0),E(1,0,1),F(xiàn)

,

設(shè)平面BEF的法向量為 =(x,y,z),則 ,令x=1,則z=﹣1,y=1.

=(1,1,﹣1).取平面ABC的法向量

= = =﹣

∴平面ABC與平面BEF所成的二面角的平面角(銳角)的余弦值為


【解析】(1)利用等腰三角形的性質(zhì)可得BE⊥PC.再利用線面垂直的判定和性質(zhì)即可證明BE⊥平面PAC;(2)取AF得中點(diǎn)Q,連接CQ,MQ.利用已知及三角形的中位線定理可得EF∥CQ,BF∥MQ,即可得到面面平行:平面BEF∥平面CMQ,進(jìn)而得到線面平行;(3)通過(guò)建立空間直角坐標(biāo)系,利用兩個(gè)平面的法向量即可得出.
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解直線與平面平行的判定的相關(guān)知識(shí),掌握平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行,則該直線與此平面平行;簡(jiǎn)記為:線線平行,則線面平行,以及對(duì)直線與平面垂直的判定的理解,了解一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直,則該直線與此平面垂直;注意點(diǎn):a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視;b)定理體現(xiàn)了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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③已知向量 , , 是空間的一個(gè)基底,則向量 + , , 也是空間的一個(gè)基底;
④△ABC中,A>B的充要條件是sinA>sinB.
其中正確的命題個(gè)數(shù)是(
A.1
B.2
C.3
D.4

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A.3
B.4
C.5
D.6

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A.若 共線,則 =0
B. =
C.對(duì)任意的λ∈R,有 =
D.( 2+( 2=| |2| |2

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