Question

【題目】設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn ， a1=10，an+1=9Sn+10．
（1）求證：{lgan}是等差數(shù)列；
（2）設(shè) 對所有的n∈N*都成立的最大正整數(shù)m的值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：依題意， ，

當(dāng)n≥2時，an=9Sn﹣1+10①又an+1=9Sn+10②

②﹣①整理得： 為等比數(shù)列，

且an=a1qn﹣1=10n，∴l(xiāng)gan=n∴l(xiāng)gan+1﹣lgan=（n+1）﹣n=1，

即{lgan}n∈N*是等差數(shù)列．

（2）解：由（1）知，

= ∴ ，

依題意有 ，

故所求最大正整數(shù)m的值為5．

【解析】（1）依題意可求得a2的值，進而求得 的值，進而看當(dāng)n≥2時，根據(jù)an=Sn﹣Sn﹣1求得 判斷出數(shù)列為等比數(shù)列，進而根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)求得an ， 進而分別表示出lgan和lgan+1 ， 根據(jù)lgan+1﹣lgan=1，判斷出lgan}n∈N*是等差數(shù)列．（2）根據(jù)（1）中求得an利用裂項法求得Tn ， 進而根據(jù)3﹣ ≥ ，進而根據(jù) 求得m的范圍．判斷出m的最大正整數(shù)．
【考點精析】利用等差關(guān)系的確定和數(shù)列的前n項和對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數(shù)，即－=d ，（n≥2，n∈N）那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列；數(shù)列{an}的前n項和sn與通項an的關(guān)系．