【題目】已知函數(shù),
(1)當(dāng)時(shí),求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若函數(shù)在區(qū)間上有1個(gè)零點(diǎn),求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(3)是否存在正整數(shù),使得在上恒成立?若存在,求出k的最大值;若不存在,說明理由.
【答案】(1)見解析;(2) ;(3)見解析.
【解析】試題分析:(1)當(dāng)時(shí),得到,求得,利用和,即可求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)由,分和兩種情況分類討論,得到函數(shù)的單調(diào)性與極值,結(jié)合函數(shù)的圖象,即可求解實(shí)數(shù)的取值范圍;
(3)假設(shè)存在正整數(shù),使得在上恒成立,分類參數(shù)得出對(duì)恒成立,設(shè)函數(shù),求得,求得函數(shù)單調(diào)性與極值,即可求解實(shí)數(shù)的最大值.
試題解析:
(1)當(dāng)時(shí), , .
令,解得,令,解得,
∴的單調(diào)增區(qū)間為,單調(diào)減區(qū)間為.
(2),
當(dāng)時(shí),由,知,
所以, 在上是單調(diào)增函數(shù),且圖象不間斷,
又,∴當(dāng)時(shí), ,
∴函數(shù)在區(qū)間上沒有零點(diǎn),不合題意.
當(dāng)時(shí),由,解得,
若,則,故在上是單調(diào)減函數(shù),
若,則,故在上是單調(diào)增函數(shù),
∴當(dāng)時(shí), ,
又∵, 在上的圖象不間斷,
∴函數(shù)在區(qū)間上有1個(gè)零點(diǎn),符合題意.
綜上所述, 的取值范圍為.
(3)假設(shè)存在正整數(shù),使得在上恒成立,
則由知,從而對(duì)恒成立(*)
記,得,
設(shè), ,
∴在是單調(diào)增函數(shù),
又在上圖象是不間斷的,
∴存在唯一的實(shí)數(shù),使得,
∴當(dāng)時(shí), 在上遞減,
當(dāng)時(shí), 在上遞增,
∴當(dāng)時(shí), 有極小值,即為最小值, ,
又,∴,∴ ,
由(*)知, ,又, ,∴ 的最大值為3,
即存在最大的正整數(shù),使得在上恒成立.
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(2)已知函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱,證明當(dāng)時(shí), ;
(3)如果,且,證明: .
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(Ⅰ)完成所給的頻率分布直方圖,并求的值;
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