Question

13．已知f（x）=ax+$\frac{a-2}{x}$+$\frac{^{2}}{{x}^{2}}$是奇函數(shù)，且f（x）在（0，+∞）上存在最大值，則a+b取值范圍是（-∞，0）．

Answer 1

分析 利用f（x）=ax+$\frac{a-2}{x}$+$\frac{^{2}}{{x}^{2}}$是奇函數(shù)，求出b，利用且f（x）在（0，+∞）上存在最大值，求出a的范圍，即可求出a+b取值范圍．

解答 解：由題意可知，其定義域為（-∞，0）∪（0，+∞）．
∵f（x）=ax+$\frac{a-2}{x}$+$\frac{^{2}}{{x}^{2}}$是奇函數(shù)，
∴f（x）+f（-x）=0．因此代入原函數(shù)，可得b=0．
∴f（x）=ax+$\frac{a-2}{x}$，
①a=0，f（x）=-$\frac{2}{x}$，在（0，+∞）上不存在最大值；
②a≠0，f（x）=a（x+$\frac{\frac{a-2}{a}}{x}$），
∵f（x）在（0，+∞）上存在最大值，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a＜0}\\{\frac{a-2}{a}＞0}\end{array}\right.$，∴a＜0，
綜上a＜0，b=0，
∴a+b＜0．
故答案為：（-∞，0）．

點評 本題考查函數(shù)的性質(zhì)，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，正確分類討論是關(guān)鍵．