Question

已知f （x）=m^x（m為常數(shù)，m＞0且m≠1）．設(shè)f （a₁），f （a₂），…，f （a_n），…（n∈N）是首項為m²，公比為m的等比數(shù)列．
（1）求證：數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列；
（2）若b_n=a_n f （a_n），且數(shù)列{b_n}的前n項和為S_n，當(dāng)m=3時，求S_n；
（3）若c_n=f（a_n）lgf （a_n），問是否存在m，使得數(shù)列{c_n}中每一項恒不小于它后面的項？若存在，求出m的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）由題意f （a_n）=m²•m^n-1，即m^a_n=mⁿ⁺¹．
∴a_n=n+1，∴a_n+1-a_n=1，∴數(shù)列{a_n}是以2為首項，1為公差的等差數(shù)列．
（2）由題意b_n=a_nf （a_n）=（n+1）•mⁿ⁺¹，
當(dāng)m=3時，b_n=（n+1）•3ⁿ⁺¹，∴S_n=2•3²+3•3³+4•3⁴+…+（n+1）•3ⁿ⁺¹…①，
①式兩端同乘以3得，3S_n=2•3³+3•3⁴+4•3⁵+…+（n+1）•3ⁿ⁺²…②
②-①并整理得，
2S_n=-2•3²-3³-3⁴-3⁵-…-3ⁿ⁺¹+（n+1）•3ⁿ⁺²=-3²-（3²+3³+3⁴+3⁵+…+3ⁿ⁺¹）+（n+1）•3ⁿ⁺²
=-32-

32(1-3n)

1-3

+（n+1）•3ⁿ⁺²=-9+

9

2

 （1-3ⁿ）+（n+1）•3ⁿ⁺²=（n+

1

2

）3ⁿ⁺²-

9

2

．
∴S_n=

1

4

（2n+1）3ⁿ⁺²-

9

4

．
（3）由題意c_n=f （a_n）•lg f （a_n）=mⁿ⁺¹•lgmⁿ⁺¹=（n+1）•mⁿ⁺¹•lgm，
要使c_n≥c_n+1對一切n∈N*成立，即（n+1）•mⁿ⁺¹•lgm≥（n+2）•mⁿ⁺²•lgm，對一切n∈N^*成立，
當(dāng)m＞1時，lgm＞0，所以n+1≥m（n+2），即m≤

n+1

n+2

對一切n∈N^*成立，
因為

n+1

n+2

=1-

1

n+2

的最小值為

2

3

，所以m≤

2

3

，與m＞1不符合，即此種情況不存在．
②當(dāng)0＜m＜1時，lgm＜0，所以n+1≤m（n+2），即m≥

n+1

n+2

對一切n∈N^*成立，所以

2

3

≤m＜1．
綜上，當(dāng)

2

3

≤m＜1時，數(shù)列{c_n}中每一項恒不小于它后面的項．