Question

橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1 (a＞b＞0)上一點(diǎn)A關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為B，F(xiàn)為其右焦點(diǎn)，若AF⊥BF，設(shè)∠ABF=α，且α∈[

π

12

 ， 

5π

12

]，則橢圓的離心率的取值范圍為（　　）

• A、[

  2

  2

  ，

  6

  3

  ]
• B、(0，

  2

  2

  ]
• C、[

  2

  2

  ，1)
• D、[

  6

  3

  ，1)

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：由已知條件，利用根據(jù)橢圓定義推導(dǎo)出|AF|+|BF|=2a，再由O是Rt△ABF的斜邊中點(diǎn)，推導(dǎo)出e=

1

2 sin(α+ π 4 )

，由此根據(jù)α∈[

π

12

 ， 

5π

12

]，能求出橢圓的離心率的取值范圍．

解答： 解：∵B和A關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱
∴B也在橢圓上
設(shè)左焦點(diǎn)為F′，
根據(jù)橢圓定義：|AF|+|AF′|=2a
又∵|BF|=|AF′|，
∴|AF|+|BF|=2a  …①
O是Rt△ABF的斜邊中點(diǎn)，∴|AB|=2c
又|AF|=2csinα    …②
|BF|=2ccosα    …③
②③代入①2csinα+2ccosα=2a
∴

c

a

=

1

sinα+cosα

，
即e=

1

sinα+cosα

=

1

2 sin(α+ π 4 )

，
∵α∈[

π

12

 ， 

5π

12

]，
∴

π

3

≤α+

π

4

≤

3π

4

∴

3

2

≤sin（α+

π

4

）≤1
∴

2

2

≤e≤

6

3

．
故選：A．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的離心率的取值范圍的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意三角函數(shù)性質(zhì)的靈活運(yùn)用．