Question

已知圓C：x²+y²-8x+4y+16=0，直線l過定點(diǎn)（4，0）．
（1）若直線l與方向向量為a=（1，3）的直線l₁垂直，求原點(diǎn)到直線l的距離
（2）直線l與圓C相交于A，B兩點(diǎn)，若△ABC的面積為

8

5

，求直線l的方程．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓的位置關(guān)系

專題：直線與圓

分析：將圓C的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，找出圓心C坐標(biāo)和半徑r，
（1）由直線l與方向向量

a

=（1，3）的直線l₁垂直，得到直線l的斜率，再由直線l過定點(diǎn)（4，0），確定出直線l的方程，利用點(diǎn)到直線的距離公式即可求出原點(diǎn)到直線l的距離；
（2）設(shè)直線l的斜率為k，由直線l過定點(diǎn)，表示出直線l的方程，利用點(diǎn)到直線的距離公式表示出圓心C到直線l的距離d，再由垂徑定理及勾股定理表示出AB的弦長，以AB為底邊，圓心C到直線l的距離為高，利用三角形的面積公式表示出三角形ABC的面積，由已知的面積列出關(guān)于k的方程，求出方程的解得到k的值，即可確定出直線l的方程．

解答： 解：將圓C方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程得：（x-4）²+（y+2）²=4，得到圓心C（4，-2），半徑r=2，
（1）∵直線l與方向向量

a

=（1，3）的直線l₁垂直，且直線l過定點(diǎn)（4，0），
∴直線l的斜率為-

1

3

，方程為y=-

1

3

（x-4），即x+3y-4=0，
則原點(diǎn)（0，0）到直線l的距離d=

|-4|

12+32

=

2 10

5

；
（2）設(shè)直線l的斜率為k，由直線l過定點(diǎn)（4，0），得到直線l方程為y=k（x-4），
∴圓心C到直線l的距離d=

2

1+k2

，又r=2，
∴|AB|=2

r2-d2

=

4|k|

1+k2

，
∴S_△ABC=

1

2

|AB|•d=

1

2

•

4|k|

1+k2

•

2

1+k2

=

8

5

，
解得：k=±

1

2

或k=±2，
則所求直線方程為x-2y-4=0或x+2y-4=0或2x-y-8=0或2x+y-8=0．

點(diǎn)評：此題考查了直線與圓的位置關(guān)系，涉及的知識有：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，點(diǎn)到直線的距離公式，垂徑定理，勾股定理，以及直線的點(diǎn)斜式方程，當(dāng)直線與圓相交時，常常根據(jù)垂徑定理由垂直得中點(diǎn)，進(jìn)而由弦長的一半，圓的半徑及弦心距構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理解決問題．