Question

在直角坐標平面內(nèi)，我們定義A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）兩點間的“直角距離”為D_（AB）=|x₁-x₂|+|y₁-y₂|．
（1）在平面直角坐標系中，寫出所有滿足到原點的直角距離為2的“格點”的坐標（“格點”指的是橫、縱坐標均為整數(shù)的點）
（2）求到兩定點F₁、F₂的“直角距離”之和為定值2a（a＞0）的動點的軌跡方程，并在直角坐標系內(nèi)作出該動點的軌跡；
（在以下三個條件中任選一個作答，多做不計分，其中選擇條件①，滿分3分；選擇條件②，滿分4分；選擇③滿分6分）
①F₁（-1，0）、F₂（1，0）、a=2；
②F₁（-1，-1）、F₂（1，1）、a=2③F₁（-1，-1）、F₂（1，1）、a=4；
（3）（理科）寫出同時滿足以下兩個條件的所有格點的坐標，并說明理由；
（文科）寫出同時滿足以下兩個條件的所有格點的坐標，不必說明理由；
①到A（-1，-1）、B（1，1）兩點的“直角距離”相等；
②到C（-2，-2）、D（2，2）兩點的“直角距離”之和最小．

Answer 1

考點：軌跡方程

專題：計算題,新定義,分類討論

分析：（1）設(shè)點P（x，y），則有新定義可得，|x|+|y|=2，運用列舉法，即可得到；
（2）由新定義，得到軌跡方程，再由圖象關(guān)于x，y，原點都對稱，即可得到軌跡；
（3）運用新定義，列出方程，以及根據(jù)絕對值不等式的性質(zhì)，得到最小值，再通過列舉即可得到格點．

解答： 解：（1）設(shè)點P（x，y），則有新定義可得，|x|+|y|=2，
則滿足條件的格點的坐標為（0，2），（0，-2），（1，1），
（1，-1），（-1，1），（-1，-1），（2，0），（-2，0）；
（2）①動點的軌跡方程為|x+1|+|x-1|+2|y|=4，如圖1所示軌跡為六邊形．
②|x+1|+|x-1|+|y-1|+|y+1|=4，如圖2所示軌跡為正方形及內(nèi)部．
③|x+1|+|x-1|+|y-1|+|y+1|=8，如圖3所示軌跡是八邊形．
（3）設(shè)滿足條件的格點的坐標為（x，y），
則由①，得|x+1|+|y+1|=|x-1|+|y-1|，當x≥1，y≥1，x+y+2=x+y-2不成立；
當x≤-1，y≤-1，方程也不成立；當x≥1，y≤-1，x+1-y-1=x-1+1-y成立；
當x≤-1，y≥1，也成立；當x≥1，-1＜y＜1，x+1+y+1=x-1+1-y，則y=-1；
當x≤-1，-1＜y＜1，則y=1；當-1＜x＜1，y≥1，x+1+y+1=1-x+y+1，則x=0；
當-1＜x＜1，y≤-1，x+1-y-1=1-x+1-y，則x=1；當-1＜x＜1，-1＜y＜1，
x+1+y+1=1-x+1-y，則x+y=0．
由②得，到C（-2，-2）、D（2，2）兩點的“
直角距離”之和d=|x+2|+|x-2|+|y+2|+|y-2|≥
|（2+x）+（2-x）|+|（2+y）+（2-y）|
=4+4=8，當且僅當-2≤x≤2且-2≤y≤2，取得最小值8．
綜合上面，可得格點為（2，-1），（2，-2），（1，-1），（1，-2），（0，0），（-1，2），（-1，1），（-2，2），（-2，1）．

點評：本題新定義的理解和運用，考查分類討論的思想方法及絕對值不等式的性質(zhì)，考查運算能力，屬于壓軸題和難題．