【題目】已知圓O:x2+y2=3上的一動(dòng)點(diǎn)M在x軸上的投影為N,點(diǎn)P滿(mǎn)足.
(1)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程;
(2)若直線l與圓O相切,且交曲線C于點(diǎn)A,B,試求|AB|的最大值.
【答案】(1)3x2+2y2=9.(2)最大值為2
【解析】
(1)設(shè)根據(jù)已知,將點(diǎn)坐標(biāo)用表示,代入圓方程,即可求解;
(2)設(shè)直線l的方程為,根據(jù)條件求出關(guān)系,將直線方程與橢圓方程聯(lián)立,消去,得到關(guān)于的方程,利用根與系數(shù)關(guān)系,求出關(guān)于的函數(shù),利用換元法,運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性,即可求解.
(1)設(shè)P(x,y),M(x0,y0),則N(x0,0),∵,
∴(x 0﹣x,0﹣y)(0,0﹣y0),即有,
點(diǎn)M在圓O:x2+y2=3上所以x02+y02=3,
代入得,
∴點(diǎn)P的軌跡C為.
(2)由已知可得當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)不合題意.
故可設(shè)直線l的方程為y=kx+t,即kx﹣y+t=0.
∵圓O與直線l相切,∴圓O到直線l的距離,
∴t2=3(k2+1),
由可得(3+2k2)x2+4ktx+2t2﹣9=0,
恒成立.
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則,
∵t2=3(k2+1),
∴|AB|
,
,其中.
令,λ∈[1,+∞).
∵恒成立,∴g(λ)在[1,+∞)上單調(diào)遞增,
∴g(λ)≥g(1)=3,即,,
.
故|AB|的最大值為2,當(dāng)且僅當(dāng)λ=1,即k=0時(shí)取等號(hào).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,設(shè)點(diǎn)集,令.從集合Mn中任取兩個(gè)不同的點(diǎn),用隨機(jī)變量X表示它們之間的距離.
(1)當(dāng)n=1時(shí),求X的概率分布;
(2)對(duì)給定的正整數(shù)n(n≥3),求概率P(X≤n)(用n表示).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,已知點(diǎn),,動(dòng)點(diǎn)滿(mǎn)足直線與的斜率之積為.記點(diǎn)的軌跡為曲線.
(1)求的方程,并說(shuō)明是什么曲線;
(2)若,是曲線上的動(dòng)點(diǎn),且直線過(guò)點(diǎn),問(wèn)在軸上是否存在定點(diǎn),使得?若存在,請(qǐng)求出定點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】三名工人加工同一種零件,他們?cè)谝惶熘械墓ぷ髑闆r如圖所示,其中點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)分別為第名工人上午的工作時(shí)間和加工的零件數(shù),點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)分別為第名工人下午的工作時(shí)間和加工的零件數(shù),.記為第名工人在這一天中加工的零件總數(shù),記為第名工人在這一天中平均加工的零件數(shù),則,,中的最大值與,,中的最大值分別是( )
A.,B.,
C.,D.,
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在平面坐標(biāo)系中中,已知直線l的參考方程為(t為參數(shù)),曲線C的參數(shù)方程為(s為參數(shù)).設(shè)P為曲線C上的動(dòng)點(diǎn),
(Ⅰ)求直線l和曲線C的直角坐標(biāo)方程;
(Ⅱ)求點(diǎn)P到直線l的距離的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】小趙和小王約定在早上7:00至7:15之間到某公交站搭乘公交車(chē)去上學(xué),已知在這段時(shí)間內(nèi),共有2班公交車(chē)到達(dá)該站,到站的時(shí)間分別為7:05,7:15,如果他們約定見(jiàn)車(chē)就搭乘,則小趙和小王恰好能搭乘同一班公交車(chē)去上學(xué)的概率為( )
A. B. C. D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某無(wú)縫鋼管廠只生產(chǎn)甲、乙兩種不同規(guī)格的鋼管,鋼管有內(nèi)外兩個(gè)口徑,甲種鋼管內(nèi)外兩口徑的標(biāo)準(zhǔn)長(zhǎng)度分別為和,乙種鋼管內(nèi)外兩個(gè)口徑的標(biāo)準(zhǔn)長(zhǎng)度分別為和.根據(jù)長(zhǎng)期的生產(chǎn)結(jié)果表明,兩種規(guī)格鋼管每根的長(zhǎng)度都服從正態(tài)分布,長(zhǎng)度在之外的鋼管為廢品,要回爐熔化,不準(zhǔn)流入市場(chǎng),其他長(zhǎng)度的鋼管為正品.
(1)在該鋼管廠生產(chǎn)的鋼管中隨機(jī)抽取10根進(jìn)行檢測(cè),求至少有1根為廢品的概率;
(2)監(jiān)管部門(mén)規(guī)定每種規(guī)格鋼管的“口徑誤差”的計(jì)算方式為:若鋼管的內(nèi)外兩個(gè)口徑實(shí)際長(zhǎng)分別為,標(biāo)準(zhǔn)長(zhǎng)分別為,則“口徑誤差”為,按行業(yè)生產(chǎn)標(biāo)準(zhǔn),其中“一級(jí)品”“二級(jí)品”“合格品”的“口徑誤差”的范圍分別是(正品鋼管中沒(méi)有“口徑誤差”大于的鋼管),現(xiàn)分別從甲、乙兩種產(chǎn)品的正品中各隨機(jī)抽取100根,分別進(jìn)行“口徑誤差”的檢測(cè),統(tǒng)計(jì)后,繪制其頻率分布直方圖如圖所示:
甲種鋼管 乙種鋼管
已知經(jīng)銷(xiāo)商經(jīng)銷(xiāo)甲種鋼管,其中“一級(jí)品”的利潤(rùn)率為0.3,“二級(jí)品”的利潤(rùn)率為0.18,“合格品”的利潤(rùn)率為0.1;經(jīng)銷(xiāo)乙種鋼管,其中“一級(jí)品”的利潤(rùn)率為0.25,“二級(jí)品”的利潤(rùn)率為0.15,“合格品”的利潤(rùn)率為0.08,若視頻率為概率.
(。┤艚(jīng)銷(xiāo)商對(duì)甲、乙兩種鋼管各進(jìn)了100萬(wàn)元的貨,和分別表示經(jīng)銷(xiāo)甲、乙兩種鋼管所獲得的利潤(rùn),求和的數(shù)學(xué)期望和方差,并由此分析經(jīng)銷(xiāo)商經(jīng)銷(xiāo)兩種鋼管的利弊;
(ⅱ)若經(jīng)銷(xiāo)商計(jì)劃對(duì)甲、乙兩種鋼管總共進(jìn)100萬(wàn)元的貨,則分別在甲、乙兩種鋼管上進(jìn)貨多少萬(wàn)元時(shí),可使得所獲利潤(rùn)的方差和最小?
附:若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布,則,,,.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某校要在一條水泥路邊安裝路燈,其中燈桿的設(shè)計(jì)如圖所示,AB為地面,CD,CE為路燈燈桿,CD⊥AB,∠DCE=,在E處安裝路燈,且路燈的照明張角∠MEN=.已知CD=4m,CE=2m.
(1)當(dāng)M,D重合時(shí),求路燈在路面的照明寬度MN;
(2)求此路燈在路面上的照明寬度MN的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】為了研究不同性別在處理多任務(wù)時(shí)的表現(xiàn)差異,召集了男女志愿者各200名,要求他們同時(shí)完成多個(gè)任務(wù),包括解題、讀地圖、接電話(huà).下圖表示了志愿者完成任務(wù)所需的時(shí)間分布.以下結(jié)論,對(duì)志愿者完成任務(wù)所需的時(shí)間分布圖表理解正確的是( )
①總體看女性處理多任務(wù)平均用時(shí)更短;
②所有女性處理多任務(wù)的能力都要優(yōu)于男性;
③男性的時(shí)間分布更接近正態(tài)分布;
④女性處理多任務(wù)的用時(shí)為正數(shù),男性處理多任務(wù)的用時(shí)為負(fù)數(shù).
A.①④B.②③C.①③D.②④
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