Question

3．如圖所示，PD⊥平面ABCD，AD⊥CD，AD∥BC，PD：DC：BC=1：1：$\sqrt{2}$．
（Ⅰ）求PB與平面PDC所成角的大��；
（Ⅱ）求二面角D-PB-C的正切值；
（Ⅲ）若AD=$\frac{1}{2}$BC，求證：平面PAB⊥平面PBC．

Answer 1

分析 （Ⅰ）首先求出平面PDC的垂線，找到PB與平面PDC所成角的平面角；
（Ⅱ）由已知得到平面PDB⊥平面ABCD，作CH⊥BD于H，則CH⊥平面PDB，作HF⊥PB于F，連CF，得到∠CFH為二面角D-PB-C的平面角，然后通過解三角形求之；
（Ⅲ）取PB中點(diǎn)G，PC中點(diǎn)E，連結(jié)AG，GE，DE，得到四邊形AGED是平行四邊形，只要得到AG⊥平面PBC，利用面面垂直的判定定理證明．

解答 解：（Ⅰ）∵PD⊥平面ABCD
∴PD⊥BC，
由AD⊥DC，AD∥BC，得BC⊥DC，
又PD∩DC=D，則BC⊥平面PDC，
∴∠BPC為直線PB與平面PDC所成的角，
令PD=1，則DC=1，BC=$\sqrt{2}$，得PC=$\sqrt{2}$，
由BC⊥平面PDC
∴BC⊥PC，
在Rt△PBC中，由PC=BC得∠BPC=45°即直線PB和面PDC所成的角為45°；
（Ⅱ）由PD⊥平面ABCD，PD?平面PDB，得平面PDB⊥平面ABCD，
作CH⊥BD于H，則CH⊥平面PDB，作HF⊥PB于F，連CF，
∴CF⊥PB
則∠CFH為二面角D-PB-C的平面角，
在Rt△DBC中，DB=$\sqrt{B{C}^{2}+C{D}^{2}}=\sqrt{3}$，
∴CH•BD=CD•BC，得CH=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
在Rt△FHC中，得HF=$\frac{\sqrt{3}}{3}$
∴tan∠HFC=$\frac{HC}{HF}=\sqrt{2}$
即二面角D-PB-C的正切值為$\sqrt{2}$；
（Ⅲ）證明：取PB中點(diǎn)G，PC中點(diǎn)E，連結(jié)AG，GE，DE
∴GE∥BC，GE=$\frac{1}{2}$BC，由已知∴AD∥BC，AD=$\frac{1}{2}$BC，
∴AD=GE，AD∥GE，則四邊形AGED是平行四邊形，
∴AG∥DE，可知DE⊥平面PBC，
∴AG⊥平面PBC，
又AG?平面PAB
∴平面PAB⊥平面PBC．

點(diǎn)評 本題考查了線面垂直面面垂直的性質(zhì)定理和判定定理的運(yùn)用以及二面角的求法；關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化為平面角解答．