Question

經(jīng)調(diào)查統(tǒng)計(jì)，某種型號(hào)的汽車(chē)在勻速行駛中，每小時(shí)的耗油量y（升）關(guān)于行駛速度x（千米/時(shí)）的函數(shù)可表示為y=

1

120000

x³-

1

50

x+

18

5

（0＜x≤100）．已知甲、乙兩地相距100千米，在勻速行駛速度不超過(guò)100千米/時(shí)的條件下，該種型號(hào)的汽車(chē)從甲地到乙地的耗油量記為f（x）（升）．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性，當(dāng)x為多少時(shí)，耗油量f（x）為最少？最少為多少升？

Answer 1

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問(wèn)題中的應(yīng)用

專(zhuān)題：應(yīng)用題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（I）把用的時(shí)間求出，再乘以每小時(shí)的耗油量y即可求函數(shù)f（x）的解析式；
（II）求導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，即可求出h（x）的極小值，判斷出就是最小值即可．

解答： 解：（Ⅰ）由題意得，汽車(chē)從甲地到乙地行駛了

100

x

小時(shí)，…（2分）
∴f（x）=（

1

120000

x3-

1

50

x+

18

5

）•

100

x

=

1

1200

x2+

360

x

-2（0＜x≤100）．         …（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）有，f′（x）=

x3-216000

600x2

．   …（8分）
令f′（x）=0，得x=60．      …（9分）
①當(dāng)x∈（0，60）時(shí)，f′（x）＜0，f（x）是減函數(shù)；    …（10分）
②當(dāng)x∈（60，100]時(shí)，f′（x）＞0，f（x）是增函數(shù)；  …（11分）
∴當(dāng)x=60，即汽車(chē)的行駛速度為60（千米/時(shí)）時(shí)，從甲地到乙地的耗油量f（x）為最少，最少耗油量為f（60）=7（升）．         …（12分）

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查函數(shù)、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用等基本知識(shí)，考查運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析和解決實(shí)際問(wèn)題的能力．