Question

已知命題p：任意x∈R，x²+1≥a，命題q：函數f（x）=x²-2ax+1在（-∞，-1]上單調遞減．
（1）若命題p為真命題，求實數a的取值范圍；
（2）若p和q均為真命題，求實數a的取值范圍．

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應用

專題：函數的性質及應用,簡易邏輯

分析：（1）對于命題p：任意x∈R，x²+1≥a，由x²≥0，即可得到實數a的取值范圍；
（2）當q為真命題時，函數f（x）=x²-2ax+1=（x-a）²+1-a²在（-∞，-1]上單調遞減．
利用二次函數的單調性可得a≥-1，由于p和q均為真命題，因此

a≤1 a≥-1

，解得即可．

解答： 解：（1）對于命題p：任意x∈R，x²+1≥a，∵x²≥0，∴a≤1，即實數a的取值范圍是（-∞，1]；
（2）當q為真命題時，函數f（x）=x²-2ax+1在（-∞，-1]上單調遞減．
∴a≥-1，
∵p和q均為真命題，∴

a≤1 a≥-1

，解得-1≤a≤1，
∴實數a的取值范圍是[-1，1]．

點評：本題考查了二次函數的單調性、簡易邏輯的有關知識，屬于基礎題．