Question

在某交通擁擠地段，交通管理部門(mén)規(guī)定，在此地段內(nèi)的車(chē)距d（米）與車(chē)速v（千米/小時(shí)）的平方和車(chē)身長(zhǎng)的積成正比，且最小車(chē)距不得小于半個(gè)車(chē)身長(zhǎng)，假定車(chē)身長(zhǎng)均為S（米），且當(dāng)車(chē)速為50（千米/小時(shí)），車(chē)距恰好為車(chē)身長(zhǎng)．問(wèn)交通繁忙時(shí)，應(yīng)規(guī)定怎樣的車(chē)速才能使此地的車(chē)流量最大（車(chē)流量即為1小時(shí)所通過(guò)的車(chē)輛數(shù)）？

Answer 1

分析：根據(jù)車(chē)距d是車(chē)速v（千米/小時(shí)）的平方與車(chē)身長(zhǎng)S（米）之積的正比例函數(shù)，可假設(shè)函數(shù)解析式．利用車(chē)速為50千米/小時(shí)，車(chē)距恰為車(chē)身長(zhǎng)．可求d關(guān)于v的解析式，從而可得車(chē)流量關(guān)于v的函數(shù)，利用基本不等式可求最值．

解答：解：（1）∵車(chē)距d是車(chē)速V（公里/小時(shí)）的平方與車(chē)身長(zhǎng)S（米）積的正比例函數(shù)，設(shè)d=KV²S，
∵V=50時(shí)，d=s，得s=K×50²×S，
∴K=

1

2500

，
∴d=

1

2500

V²S，又d=

1

2

S時(shí)，V=25

2

，
∴當(dāng)0＜V≤25

2

時(shí)，車(chē)距d=車(chē)身長(zhǎng)的一半，車(chē)流量Q=

2000V

3S

，∴Q_max=

50000 2

3S

當(dāng)V＞25

2

時(shí)，車(chē)距d=

1

2500

V²S，車(chē)流量Q=

1000V

S(1+ V2 2500 )

=

1000

S( 1 V + V 2500 )

≤

25000

S

∵

25000

S

＞

50000 2

3S

∴V=50（公里/小時(shí)），即車(chē)速為50公里/小時(shí)時(shí)，才能使此地段的車(chē)流量最大．

點(diǎn)評(píng)：本題的考點(diǎn)是根據(jù)實(shí)際問(wèn)題選擇函數(shù)類(lèi)型．主要考查利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，同時(shí)考查利用基本不等式求函數(shù)的最值，關(guān)鍵是將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題．