Question

14．一個(gè)袋中裝有若干個(gè)大小相同的黑球、白球和紅球．已知從袋中任意摸出1個(gè)球，得到黑球的概率是$\frac{2}{5}$；從袋中任意摸出2個(gè)球，至少得到1個(gè)白球的概率是$\frac{7}{9}$．
（1）若袋中共有10個(gè)球，①求白球的個(gè)數(shù)；②從袋中任意摸出3個(gè)球，記得到白球的個(gè)數(shù)為ξ，求隨機(jī)變量ξ的數(shù)學(xué)期E（ξ）；
（2）求證：從袋中任意摸出2個(gè)球，至少得到1個(gè)黑球的概率不大于$\frac{7}{10}$，并指出袋中哪種顏色的球個(gè)數(shù)最少．

Answer 1

分析 （1）①記“從袋中任意摸出2個(gè)球，至少得到1個(gè)白球”為事件A，設(shè)袋中白球的個(gè)數(shù)為x，由題意可得P（A）=1-$\frac{{C}_{10-x}^{2}}{{C}_{10}^{2}}$=$\frac{7}{9}$，得到x的值，即為所求．
②隨機(jī)變量ξ的取值為0，1，2，3．
由P（ξ=K）=$\frac{{C}_{5}^{K}{•C}_{5}^{3-K}}{{C}_{10}^{3}}$ （K=0，1，2，3 ）得隨機(jī)變量ξ分布列，再根據(jù)分布列求得故E（ξ） 的值．
（2）設(shè)袋中有n個(gè)球，其中y個(gè)黑球，由題意得y=$\frac{2}{5}$n，n≥5，n∈N．記“從袋中任意摸2個(gè)球，至少有1個(gè)黑球”為事件B，求得 P（B）=$\frac{16}{25}$+$\frac{6}{25（n-1）}$，可得它的值小于或等于 $\frac{7}{10}$．再根據(jù)至少得到1個(gè)白球的概率是$\frac{7}{9}$，可得白球的個(gè)數(shù)比黑球多，白球個(gè)數(shù)多于$\frac{2n}{5}$，紅球的個(gè)數(shù)少于$\frac{n}{5}$，從而得出結(jié)論．

解答 解：（1）①記“從袋中任意摸出2個(gè)球，至少得到1個(gè)白球”為事件A，設(shè)袋中白球的個(gè)數(shù)為x，
則由題意可得P（A）=1-$\frac{{C}_{10-x}^{2}}{{C}_{10}^{2}}$=$\frac{7}{9}$，得到x=5，或 x=14（舍去），
故白球有5個(gè)．
②隨機(jī)變量ξ的取值為0，1，2，3．
由P（ξ=K）=$\frac{{C}_{5}^{K}{•C}_{5}^{3-K}}{{C}_{10}^{3}}$ （K=0，1，2，3 ）得隨機(jī)變量ξ分布列如下表所示：

ξ	0	1	2	3
P	$\frac{1}{12}$	$\frac{5}{12}$	$\frac{5}{12}$	$\frac{1}{12}$

故E（ξ）=0+1×$\frac{5}{12}$+2×$\frac{5}{12}$+3×$\frac{1}{12}$=$\frac{3}{2}$．
（2）證明：設(shè)袋中有n個(gè)球，其中y個(gè)黑球，由題意得y=$\frac{2}{5}$n，n≥5，n∈N．
記“從袋中任意摸2個(gè)球，至少有1個(gè)黑球”為事件B，
則 P（B）=$\frac{{C}_{\frac{2n}{5}}^{1}{•C}_{\frac{3n}{5}}^{1}{+C}_{\frac{2n}{5}}^{2}}{{C}_{n}^{2}}$=$\frac{\frac{2n}{5}•\frac{3n}{5}+\frac{\frac{2n}{5}（\frac{2n}{5}-1）}{2}}{\frac{n（n-1）}{2}}$=$\frac{\frac{12n}{25}+\frac{2}{5}（\frac{2n}{5}-1）}{n-1}$=$\frac{16n-10}{25（n-1）}$=$\frac{16（n-1）+6}{25（n-1）}$
=$\frac{16}{25}$+$\frac{6}{25（n-1）}$≤$\frac{16}{25}+\frac{6}{25×4}$=$\frac{7}{10}$．
再根據(jù)至少得到1個(gè)白球的概率是$\frac{7}{9}$，可得白球的個(gè)數(shù)比黑球多，白球個(gè)數(shù)多于$\frac{2n}{5}$，紅球的個(gè)數(shù)少于$\frac{n}{5}$．
故袋中紅球個(gè)數(shù)最少．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查離散型隨機(jī)變量的分布列，求出離散型隨機(jī)變量取每個(gè)值的概率，是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．