Question

為迎接高一新生報到，學校向高三甲、乙、丙、丁四個實驗班征召志愿者．統(tǒng)計如下：

班      級	甲	乙	丙	丁
志愿者人數	45	60	30	15

為了更進一步了解志愿者的來源，采用分層抽樣的方法從上述四個班的志愿者中隨機抽取50名參加問卷調查．
（1）從參加問卷調查的50名志愿者中隨機抽取兩名，求這兩名來自同一個班級的概率；
（2）在參加問卷調查的50名志愿者中，從來自甲、丙兩個班級的志愿者中隨機抽取兩名，用X表示抽得甲班志愿者的人數，求X的分布列和數學期望．

Answer 1

考點：離散型隨機變量及其分布列,離散型隨機變量的期望與方差

專題：概率與統(tǒng)計

分析：（1）由已知得問卷調查中，從四個班級中抽取的人數分別為15，20，10，5，從參加問卷調查的50名志愿者中隨機抽取兩名的取法共有

C

2 50

=1225種，這兩名志愿者來自同一班級的取法共有

C

2 15

+

C

2 20

+

C

2 10

+

C

2 5

，由此能求出這兩名來自同一個班級的概率．
（2）由（1）知，在參加問卷調查的50名志愿者中，來自甲、丙兩班的人員人數分別為15，10．X的可能取值為0，1，2，分別求出相應的概率，由此能求出X的分布列和數學期望．

解答： 解：（1）由已知得問卷調查中，從四個班級中抽取的人數分別為15，20，10，5…（2分）
從參加問卷調查的50名志愿者中隨機抽取兩名的取法共有

C

2 50

=1225種，
這兩名志愿者來自同一班級的取法共有

C

2 15

+

C

2 20

+

C

2 10

+

C

2 5

=350．…（5分）
∴p=

350

1225

=

2

7

．…（6分）
（2）由（1）知，在參加問卷調查的50名志愿者中，
來自甲、丙兩班的人員人數分別為15，10．
X的可能取值為0，1，2，…（8分）
P（X=0）=

C 2 10

C 2 25

=

3

20

，
P(X=1)=

C 1 15 C 1 10

C 2 25

=

1

2

，
P(X=2)=

C 2 15

C 2 25

=

7

20

．
∴X的分布列為：

X	0	1	2
P	3 20	1 2	7 20

…（11分）
EX=0×

3

20

+1×

1

2

+2×

7

20

=1.2．…（12分）

點評：本題考查概率的求法，考查離散型隨機變量的分布列和數學期望的求法，是中檔題，解題時要認真審題，在歷年高考中都是必考題型．