Question

已知函數(shù)f（x）=2x²+ax-1，g（log₂x）=x²-．
（1）求函數(shù)g（x）的解析式，并寫出當a=1時，不等式g（x）＜8的解集；
（2）若f（x）、g（x）同時滿足下列兩個條件：①?t∈[1，4]使f（-t²-3）=f（4t） ②?x∈（-∞，a]，g（x）＜8．
求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

解：（1）令t=log₂t，則x=2^t，
∴g（t）=（2^t）²-=（2^t）²-，即g（x）=（2^x）²-．
當a=1時，不等式g（x）＜8，即（2^x）²-2•2^x-8＜0．
∴2^x＜4，解得x＜2．
∴不等式g（x）＜8的解集是{x|x＜2}．
（2）①由題意，-，即a=2（t²-4t+3）=2（t-2）²-2，
由t∈[1，4]，得a∈[-2，6]．
②由題意，在x∈（-∞，a]上恒成立．
即在x∈（-∞，a]上恒成立．
令μ=2^x，則μ∈（0，2^a]，∴．
∵函數(shù)在（0，2^a]上為增函數(shù)，
∴，
∴，解得，
∴a＜．
綜合①②，符合條件的實數(shù)a的取值范圍是{a|-2≤a≤}．
分析：（1）令t=log₂t，則x=2^t，故g（x）=（2^x）²-．由此能求出當a=1時，不等式g（x）＜8的解集．
（2）①由-，知a=2（t²-4t+3）=2（t-2）²-2，由t∈[1，4]，得a∈[-2，6]．②由在x∈（-∞，a]上恒成立，知在x∈（-∞，a]上恒成立．綜合①②，能求出符合條件的實數(shù)a的取值范圍．
點評：本題考查不等式的解法和實數(shù)的取值范圍的求法．解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地進行等價轉(zhuǎn)化．