【題目】已知函數(shù)f(x)=ex﹣ax2﹣bx﹣1,其中a,b∈R,e=2.718 28…為自然對數(shù)的底數(shù).
(1)設(shè)g(x)是函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù),求函數(shù)g(x)在區(qū)間[0,1]上的最小值;
(2)若f(1)=0,函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,1)內(nèi)有零點(diǎn),證明:e﹣2<a<1.

【答案】
(1)解:由f(x)=ex﹣ax2﹣bx﹣1,得g(x)=f′(x)=ex﹣2ax﹣b,所以g′(x)=ex﹣2a.

當(dāng)x∈[0,1]時,g′(x)∈[1﹣2a,e﹣2a].

當(dāng)a≤ 時,g′(x)≥0,所以g(x)在[0,1]上單調(diào)遞增,

因此g(x)在[0,1]上的最小值是g(0)=1﹣b;

當(dāng)a≥ 時,g′(x)≤0,所以g(x)在[0,1]上單調(diào)遞減,

因此g(x)在[0,1]上的最小值是g(1)=e﹣2a﹣b;

當(dāng) <a< 時,令g′(x)=0,得x=ln(2a)∈(0,1),

所以函數(shù)g(x)在區(qū)間[0,ln(2a)]上單調(diào)遞減,在區(qū)間(ln(2a),1]上單調(diào)遞增,

于是,g(x)在[0,1]上的最小值是g(ln(2a))=2a﹣2aln(2a)﹣b.

綜上所述,當(dāng)a≤ 時,g(x)在[0,1]上的最小值是g(0)=1﹣b;

當(dāng) <a< 時,g(x)在[0,1]上的最小值是g(ln(2a))=2a﹣2aln(2a)﹣b;

當(dāng)a≥ 時,g(x)在[0,1]上的最小值是g(1)=e﹣2a﹣b


(2)證明:設(shè)x0為f(x)在區(qū)間(0,1)內(nèi)的一個零點(diǎn),則由f(0)=f(x0)=0可知,

f(x)在區(qū)間(0,x0)上不可能單調(diào)遞增,也不可能單調(diào)遞減.

則g(x)不可能恒為正,也不可能恒為負(fù).

故g(x)在區(qū)間(0,x0)內(nèi)存在零點(diǎn)x1

同理g(x)在區(qū)間(x0,1)內(nèi)存在零點(diǎn)x2.故g(x)在區(qū)間(0,1)內(nèi)至少有兩個零點(diǎn),

由(1)知,當(dāng)a≤ 時,g(x)在[0,1]遞增,故g(x)在(0,1)內(nèi)至多有1個零點(diǎn),

當(dāng)a≥ 時,g(x)在[0,1]遞減,故g(x)在(0,1)內(nèi)至多有1個零點(diǎn),都不合題意,

所以 <a< ,

此時,g(x)在區(qū)間[0,ln(2a)]遞減,在區(qū)間(ln(2a),1)遞增,

因此x1∈(0,ln(2a)),x2∈(ln(2a),1),必有:g(0)=1﹣b>0,g(1)=e﹣2a﹣b>0,

由f(1)=0,得a+b=e﹣1<2,有g(shù)(0)=a﹣e+2>0,g(1)=1﹣a>0,解得:e﹣2<a<1,

所以函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,1)內(nèi)有零點(diǎn)時,e﹣2<a<1.


【解析】(1)先求出函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù),通過討論a的范圍得出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,從而求出函數(shù)的最值;(2)設(shè)x0為f(x)在區(qū)間(0,1)內(nèi)的一個零點(diǎn),通過討論a的范圍,得出a的取值.

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【題目】環(huán)境監(jiān)測中心監(jiān)測我市空氣質(zhì)量,每天都要記錄空氣質(zhì)量指數(shù)(指數(shù)采取10分制,保留一位小數(shù)).現(xiàn)隨機(jī)抽取20天的指數(shù)(見下表),將指數(shù)不低于8.5視為當(dāng)天空氣質(zhì)量優(yōu)良.

天數(shù)

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

空氣質(zhì)量指數(shù)

7.1

8.3

7.3

9.5

8.6

7.7

8.7

8.8

8.7

9.1

天數(shù)

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

空氣質(zhì)量指數(shù)

7.4

8.5

9.7

8.4

9.6

7.6

9.4

8.9

8.3

9.3

(Ⅰ)求從這20天隨機(jī)抽取3天,至少有2天空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率;
(Ⅱ)以這20天的數(shù)據(jù)估計(jì)我市總體空氣質(zhì)量(天數(shù)很多).若從我市總體空氣質(zhì)量指數(shù)中隨機(jī)抽取3天的指數(shù),用X表示抽到空氣質(zhì)量為優(yōu)良的天數(shù),求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.

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①當(dāng)時,甲走在最前面;

②當(dāng)時,乙走在最前面;

③當(dāng)時,丁走在最前面,當(dāng)時,丁走在最后面;

④丙不可能走在最前面,也不可能走在最后面;

⑤如果它們一直運(yùn)動下去,最終走在最前面的是甲.

其中,正確結(jié)論的序號為 (把正確結(jié)論的序號都填上,多填或少填均不得分).

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(1)求這一技術(shù)難題被攻克的概率;
(2)若該技術(shù)難題末被攻克,上級不做任何獎勵;若該技術(shù)難題被攻克,上級會獎勵a萬元.獎勵規(guī)則如下:若只有1人攻克,則此人獲得全部獎金a萬元;若只有2人攻克,則獎金獎給此二人,每人各得 萬元;若三人均攻克,則獎金獎給此三人,每人各得 萬元.設(shè)甲得到的獎金數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

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