已知在橢圓中，F(xiàn)1（-c，0）（c＞0）是橢圓的左焦點(diǎn)，A（a，0），B（0，b）分別是橢圓的右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)，點(diǎn)O是橢圓的中心．又點(diǎn)P在橢圓上，且滿(mǎn)足條件：OP∥AB，點(diǎn)H是點(diǎn)P在x軸上的投影．
（Ⅰ）求證：當(dāng)a取定值時(shí)，點(diǎn)H必為定點(diǎn)；
（Ⅱ）如圖所示，當(dāng)點(diǎn)P在第二象限，以O(shè)P為直徑的圓與直線(xiàn)AB相切，且四邊形ABPH的面積等于，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．

【答案】分析：（I）由，OP∥AB，得，代入橢圓方程，得，由此能夠證明為定值，點(diǎn)H必為定點(diǎn)．
（II）當(dāng)點(diǎn)P在第二象限，點(diǎn)O到直線(xiàn)AB的距離等于，由條件設(shè)直線(xiàn)AB的方程為：，則點(diǎn)O到直線(xiàn)AB的距離為，由，知，從而=，由四邊形ABPH的面積等于，知SABPH=S△ABO+SOBPH=．由此能夠求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．
解答：解：（I）由，OP∥AB，得，代入橢圓方程，得，即，
由，得P點(diǎn)的坐標(biāo)為或，（3分）
∵PH⊥x軸，∴或，
∵a為定值，∴點(diǎn)H必為定點(diǎn)．（6分）

（II）當(dāng)點(diǎn)P在第二象限，以O(shè)P為直徑的圓與直線(xiàn)AB相切，
即等價(jià)于點(diǎn)O到直線(xiàn)AB的距離等于，（8分）
由條件設(shè)直線(xiàn)AB的方程為：，
則點(diǎn)O到直線(xiàn)AB的距離為，
又由（I）可知，所以，
從而=，即①（10分）
又四邊形ABPH的面積等于，
則SABPH=S△ABO+SOBPH
=
整理得ab②（12分）
由①②解得，
所以所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（14分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查圓與圓錐曲線(xiàn)的綜合運(yùn)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），其焦距為2c，若
c
a
=
5
-1
2
（≈0.618），則稱(chēng)橢圓C為“黃金橢圓”．
（1）求證：在黃金橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）中，a、b、c成等比數(shù)列．
（2）黃金橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的右焦點(diǎn)為F2（c，0），P為橢圓C上的任意一點(diǎn)．是否存在過(guò)點(diǎn)F2、P的直線(xiàn)l，使l與y軸的交點(diǎn)R滿(mǎn)足
RP
=-3
PF2
？若存在，求直線(xiàn)l的斜率k；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
（3）在黃金橢圓中有真命題：已知黃金橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別是F1（-c，0）、F2（c，0），以A（-a，0）、B（a，0）、D（0，-b）、E（0，b）為頂點(diǎn)的菱形ADBE的內(nèi)切圓過(guò)焦點(diǎn)F1、F2．試寫(xiě)出“黃金雙曲線(xiàn)”的定義；對(duì)于上述命題，在黃金雙曲線(xiàn)中寫(xiě)出相關(guān)的真命題，并加以證明．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

精英家教網(wǎng)已知在橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)中，F(xiàn)1（-c，0）（c＞0）是橢圓的左焦點(diǎn)，A（a，0），B（0，b）分別是橢圓的右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)，點(diǎn)O是橢圓的中心．又點(diǎn)P在橢圓上，且滿(mǎn)足條件：OP∥AB，點(diǎn)H是點(diǎn)P在x軸上的投影．
（Ⅰ）求證：當(dāng)a取定值時(shí)，點(diǎn)H必為定點(diǎn)；
（Ⅱ）如圖所示，當(dāng)點(diǎn)P在第二象限，以O(shè)P為直徑的圓與直線(xiàn)AB相切，且四邊形ABPH的面積等于3+
2
，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：上海市盧灣區(qū)2010屆高三第二次模擬考試數(shù)學(xué)理科試題 題型：044

已知橢圓C：(a＞b＞0)，其焦距為2c，若(≈0.618)，則稱(chēng)橢圓C為“黃金橢圓”．

(1)求證：在黃金橢圓C：(a＞b＞0)中，a、b、c成等比數(shù)列．

(2)黃金橢圓C：(a＞b＞0)的右焦點(diǎn)為F2(c，0)，P為橢圓C上的

任意一點(diǎn)．是否存在過(guò)點(diǎn)F2、P的直線(xiàn)l，使l與y軸的交點(diǎn)R滿(mǎn)足？若存在，求直線(xiàn)l的斜率k；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

(3)在黃金橢圓中有真命題：已知黃金橢圓C：(a＞b＞0)的左、右焦點(diǎn)分別是F1(－c，0)、F2(c，0)，以A(－a，0)、B(a，0)、D(0，－b)、E(0，b)為頂點(diǎn)的菱形ADBE的內(nèi)切圓過(guò)焦點(diǎn)F1、F2．

試寫(xiě)出“黃金雙曲線(xiàn)”的定義；對(duì)于上述命題，在黃金雙曲線(xiàn)中寫(xiě)出相關(guān)的真命題，并加以證明．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：2010年上海市盧灣區(qū)高考數(shù)學(xué)二模試卷（理科）（解析版） 題型：解答題

已知橢圓C：（a＞b＞0），其焦距為2c，若（≈0.618），則稱(chēng)橢圓C為“黃金橢圓”．
（1）求證：在黃金橢圓C：（a＞b＞0）中，a、b、c成等比數(shù)列．
（2）黃金橢圓C：（a＞b＞0）的右焦點(diǎn)為F2（c，0），P為橢圓C上的任意一點(diǎn)．是否存在過(guò)點(diǎn)F2、P的直線(xiàn)l，使l與y軸的交點(diǎn)R滿(mǎn)足？若存在，求直線(xiàn)l的斜率k；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
（3）在黃金橢圓中有真命題：已知黃金橢圓C：（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別是F1（-c，0）、F2（c，0），以A（-a，0）、B（a，0）、D（0，-b）、E（0，b）為頂點(diǎn)的菱形ADBE的內(nèi)切圓過(guò)焦點(diǎn)F1、F2．試寫(xiě)出“黃金雙曲線(xiàn)”的定義；對(duì)于上述命題，在黃金雙曲線(xiàn)中寫(xiě)出相關(guān)的真命題，并加以證明．

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