已知向量
a
=(cosx，sinx)，  
b
=(6sinx，6cosx)，f(x)=
a
•(
b
-
a
)．
（Ⅰ）若x∈[0，
π
2
]，求函數(shù)f（x）單調(diào)遞減區(qū)間和值域；
（Ⅱ）在△ABC中，
AB
=
a
，
AC
=
b
．若f（x）=2，求△ABC的面積．
分析：（Ⅰ）先求出
b
-
a
，進(jìn)而化簡f(x)=
a
•(
b
-
a
)=6sin2x-1，再利用正弦函數(shù)的定義域和值域、周期性，求得結(jié)果．
（Ⅱ）由條件求得cos＜
a
，
b
＞=
1
2
，所以＜
a
，
b
＞=
π
3
，根據(jù)S△ABC=
1
2
|
a
||
b
|sin＜
a
，
b
＞求得結(jié)果．
解答：解：（Ⅰ）因?yàn)?span id="qnt2b8r" class="MathJye">
b
-
a
=(6sinx-cosx，6cosx-sinx)，
所以f（x）=
a
•(
b
-
a
)=cosx(6sinx-cosx)+sinx(6cosx-sinx)=12sinxcosx-1=6sin2x-1．
由x∈[0，
π
2
]得，2x∈[0，π]，所以函數(shù)sin2x的遞減區(qū)間為[
π
4
，
π
2
]，且sin2x∈[0，1]．
所以，函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為[
π
4
，
π
2
]，值域?yàn)閇-1，5]．-------（6分）
（Ⅱ）由
a
•(
b
-
a
)=2得
a
•
b
-(
a
)2=2
因?yàn)?span id="ui7mchx" class="MathJye">|
a
|=1，|
b
|=6，
a
•
b
=|
a
||
b
|cos＜
a
，
b
＞，
所以有6cos＜
a
，
b
＞-1=2，即得cos＜
a
，
b
＞=
1
2
．------------（9分）
所以＜
a
，
b
＞=
π
3
，
因此，S△ABC=
1
2
|
a
||
b
|sin＜
a
，
b
＞=
3
3
2
．-------（12分）
點(diǎn)評：本題主要考查三角函數(shù)的恒等變換及化簡求值，兩個向量的數(shù)量積的定義和數(shù)量積公式，正弦函數(shù)的定義域和值域、周期性，屬于中檔題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知向量
a
=(-cosα，1+sinα)，
b
=(2sin2
α
2
，sinα)．
（Ⅰ）若|
a
+
b
|=
3
，求sin2α的值；
（Ⅱ）設(shè)
c
=(cosα，2)，求(
a
+
c
)•
b
的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知向量
a
=(cosωx-sinωx，sinωx)，
b
=(-cosωx-sinωx，2
3
cosωx)，其中ω＞0，且函數(shù)f(x)=
a
•
b
+λ（λ為常數(shù)）的最小正周期為π．
（Ⅰ）求函數(shù)y=f（x）的圖象的對稱軸；
（Ⅱ）若函數(shù)y=f（x）的圖象經(jīng)過點(diǎn)(
π
4
，0)，求函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[0，
5π
12
]上的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知向量
a
=(cos
θ
2
，sin
θ
2
)，
b
=(2，1)，且
a
⊥
b
．
（1）求tanθ的值；
（2 ）求
cos2θ
2
cos(
π
4
+θ)•sinθ
的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知向量
a
=(cos(ωx-
π
6
)，  sin(ωx-
π
4
))，  
b
=(sin(
2
3
π-ωx)， sin(ωx+
π
4
))（其中ω＞0）．若函數(shù)f(x)=2
a
•
b
-1的圖象相鄰對稱軸間距離為
π
2
．
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）求f（x）在[-
π
12
，  
π
2
]上的值域．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知向量
a
=(cosθ，sinθ)，
b=
(cos2θ-1，sin2θ)，
c
=(cos2θ，sin2θ-
3
)．其中θ≠kπ，k∈Z．
（1）求證：
a
⊥
b
；
（2）設(shè)f(θ)=
a
•
c
，且θ∈(0，π)，求f(θ)的值域．

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