Question

已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點，焦點在x軸上，它的一個頂點恰好是拋物線y=

1

4

x2的焦點，離心率為

2 5

5

．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）過橢圓C的右焦點F作直線l交橢圓C于A、B兩點，交y軸于M點，若

MA

=λ1

AF

，

MB

=λ2

BF

，求證：λ₁+λ₂=-10．

Answer 1

（1）設(shè)橢圓C的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），
拋物線方程化為x²=4y，其焦點為（0，1）
則橢圓C的一個頂點為（0，1），即b=1
由e=

c

a

=

a2-b2 a2

=

2 5

5

，∴a²=5，
所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

5

+y2=1
（2）證明：易求出橢圓C的右焦點F（2，0），
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（0，y₀），顯然直線l的斜率存在，
設(shè)直線l的方程為y=k（x-2），代入方程

x2

5

+y2=1并整理，
得（1+5k²）x²-20k²x+20k²-5=0
∴x1+x2=

20k2

1+5k2

，x1x2=

20k2-5

1+5k2

又，

MA

=(x1，y1-y0)，

MB

=(x2，y2-y0)，

AF

=(2-x1，-y1)，

BF

=(2-x2，-y2)，而

MA

=λ1

AF

，

MB

=λ2

BF

，
即（x₁-0，y₁-y₀）=λ₁（2-x₁，-y₁），（x₂-0，y₂-y₀）=λ₂（2-x₂，-y₂）
∴λ1=

x1

2-x1

，λ2=

x2

2-x2

，
所以λ1+λ2=

x1

2-x1

+

x2

2-x2

=

2(x1+x2)-2x1x2

4-2(x1+x2)+x1x2

=-10