Question

如圖，三棱錐P﹣ABC中，PA⊥底面ABC，AB⊥BC，DE垂直平分線段PC，且分別交AC、PC于D、E兩點，又PB=BC，PA=AB．

（1）求證：PC⊥平面BDE；
（2）若點Q是線段PA上任一點，判斷BD、DQ的位置關(guān)系，并證明結(jié)論；
（3）若AB=2，求三棱錐B﹣CED的體積．

Answer 1

（1）根據(jù)線面垂直的判定定理來加以證明，關(guān)鍵是對于DE⊥PC的證明的運用。
（2）點Q是線段PA上任一點都有BD⊥DQ
（3）．

試題分析：解：
（1）證明：由等腰三角形PBC，得BE⊥PC，又DE垂直平分PC，
∴DE⊥PC，且DE∩BE=E， ∴PC⊥平面BDE；   4分
（2）由（Ⅰ）PC⊥平面BDE，BD?平面BDE，∴PC⊥BD 
同理，∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥BD，    6分
又PA∩PC=P，  ∴BD⊥面APC，DQ?面APC，  ∴BD⊥DQ．
所以點Q是線段PA上任一點都有BD⊥DQ    8分
（3）∵PA=AB=2，∴， ∵AB⊥BC，
∴S_△ABC==2．AC=2
∴CD==，   9分
即S_△DCB=S_△ABC，又E是PC的中點
∴V _B﹣CED=S_△ABC•PA=．    12分
點評：解決的關(guān)鍵是熟練的運用空間中線面的垂直以及線線的垂直的判定定理和性質(zhì)定理來證明，并利用體積公式求解，屬于中檔題。