Question

已知動圓C過定點（1，0），且與直線x=-1相切．
（Ⅰ）求動圓圓心C的軌跡方程；
（Ⅱ）設A、B是軌跡C上異于原點O的兩個不同點，直線OA和OB的傾斜角分別為α和β，
 ①當α+β=

π

2

時，求證直線AB恒過一定點M；
 ②若α+β為定值θ（0＜θ＜π），直線AB是否仍恒過一定點，若存在，試求出定點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）設動圓圓心M（x，y），由題設條件推導出點M的軌跡是以（1，0）為焦點，直線x=-1為準線的拋物線，由此能求出動圓圓心C的軌跡方程．
（Ⅱ）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），x₁≠x₂，且x₁x₂≠0，設直線AB的方程為y=kx+b，將y=kx+b與y²=4x聯(lián)立得ky²-4y+4b=0，由此利用韋達定理，能證明當α+β=

π

2

時，直線AB恒過定點（-4，0）；當α+β為定值θ（0＜θ＜π）時直線AB恒過定點(-4，

4

tanθ

)．

解答： 解：（Ⅰ）設動圓圓心M（x，y），
∵動圓C過定點（1，0），且與直線x=-1相切，
∴點M的軌跡是以（1，0）為焦點，直線x=-1為準線的拋物線…（2分）
其方程為y²=4x．
∴動圓圓心C的軌跡方程是y²=4x．…（3分）
（Ⅱ）證明：設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
由題意得x₁≠x₂（否則α+β=π），且x₁x₂≠0，
則x1=

y 2 1

4

，x2=

y 2 2

4

∴直線AB的斜率存在，設直線AB的方程為y=kx+b，
則將y=kx+b與y²=4x聯(lián)立消去x，得ky²-4y+4b=0
由韋達定理得y1+y2=

4

k

，y1y2=

4b

k

，※…（6分）
①當α+β=

π

2

時，tanα•tanβ=1
∴

y1

x1

•

y2

x2

=1，x1x2-y1y2=0，…（7分）
∴y₁y₂=16，又由※知：y₁y₂=

4b

k

，∴b=4k，
∵直線AB的方程可表示為y=kx+4k，
∴直線AB恒過定點（-4，0）．…（8分）
②當α+β為定值θ（0＜θ＜π）時．若α+β=

π

2

，由①知，
直線AB恒過定點M（-4，0）．…（9分）
當θ≠

π

2

時，由α+β=θ，得：
tanθ=tan（α+β）=

tanα+tanβ

1-tanαtanβ

=

4(y1+y2)

y1y2-16

將※式代入上式整理化簡可得：tanθ=

4

b-4k

，
∴b=4k+

4

tanθ

，…（11分）
此時，直線AB的方程可表示為y=kx+4k+

4

tanθ

，
所以直線AB恒過定點(-4，

4

tanθ

)…（12分）
所以當θ=

π

2

時，直線AB恒過定點（-4，0）．，
當θ≠

π

2

時直線AB恒過定點(-4，

4

tanθ

)．…（13分）

點評：本題考查圓心的軌跡方程的求法，考查直線過某一定點的判斷與證明，綜合性強，難度大，對數(shù)學思維的要求較高．