Question

9．已知$\overrightarrow{a}$=（cosx，sinx），$\overrightarrow$=（sin2x，-cos2x），$\overrightarrow{c}$=（0，1），x∈（0，π）．
（1）$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$是否共線，并說明理由；
（2）求|$\overrightarrow$|-（$\overrightarrow{a}+\overrightarrow$）•$\overrightarrow{c}$的最小值．

Answer 1

分析 （1）假設(shè)$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$共線，利用向量共線的坐標(biāo)運(yùn)算可得cosx=0，x∈（0，π），解得x即可判斷出．
（2）|$\overrightarrow$|-（$\overrightarrow{a}+\overrightarrow$）•$\overrightarrow{c}$=-$2（sinx+\frac{1}{4}）^{2}$+$\frac{17}{8}$，由x∈（0，π），可得sinx∈（0，1]，再利用二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答 解：（1）假設(shè)$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$共線，則sinxsin2x=-cosxcos2x，化為cosx=0，x∈（0，π），解得x=$\frac{π}{2}$．∴x=$\frac{π}{2}$時(shí)，$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$共線．
（2）|$\overrightarrow$|-（$\overrightarrow{a}+\overrightarrow$）•$\overrightarrow{c}$=1-（sinx-cos2x）=1-2sin²x-sinx+1=-$2（sinx+\frac{1}{4}）^{2}$+$\frac{17}{8}$，
∵x∈（0，π），∴sinx∈（0，1]，
∴當(dāng)x=$\frac{π}{2}$時(shí)，sinx=1，此時(shí)|$\overrightarrow$|-（$\overrightarrow{a}+\overrightarrow$）•$\overrightarrow{c}$取得最小值-1．

點(diǎn)評 本題考查了向量的數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)、向量共線定理、二次函數(shù)的單調(diào)性、三角函數(shù)的值域，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．