Question

設(shè)a為實(shí)數(shù)，函數(shù)f（x）=x|x-a|，
（1）當(dāng)-1≤x≤1時(shí)，討論f（x）的奇偶性；
（2）當(dāng)0≤x≤1時(shí)，求f（x）的最大值．

Answer 1

分析：（1）當(dāng)時(shí)a=0，經(jīng)檢驗(yàn) f（x）為奇函數(shù)，當(dāng)a≠0時(shí)，f（a）=0，f（-a）=-a|-a-a|=-2a|a|≠0，此時(shí)f（x）既不是奇函數(shù)又不是偶函數(shù)．
（2）當(dāng)a≤0時(shí)，f（x）_max=f（1）=1-a．當(dāng)a＞0時(shí)，f（x）=|x²-ax|，其圖象如圖所示：分當(dāng)

a

2

≥1，
 當(dāng)

a

2

＜1≤

1+ 2

2

a，當(dāng)

1+ 2

2

a＜1這三種情況，分別利用單調(diào)性求出函數(shù)的最值．

解答：解：（1）當(dāng)時(shí)a=0，f（-x）=-x|-x|=-x|x|=-f（x），
此時(shí)f（x）為奇函數(shù)．
當(dāng)a≠0時(shí)，f（a）=0，f（-a）=-a|-a-a|=-2a|a|≠0，
由f（-a）≠f（a）且f（-a）≠-f（a），
此時(shí)f（x）既不是奇函數(shù)又不是偶函數(shù)．
（2）當(dāng)a≤0時(shí)，∵0≤x≤1時(shí)，f（x）=x（x-a）為增函數(shù)，∴x=1時(shí)，f（x）_max=f（1）=1-a．
當(dāng)a＞0時(shí)，∵0≤x≤1，∴f（x）=|x（x-a）|=|x²-ax|，其圖象如圖所示：
①當(dāng)

a

2

≥1，即a≥2時(shí)，f（x）_max=f（1）=a-1．
②當(dāng)

a

2

＜1≤

1+ 2

2

a，即2(

2

-1)≤a＜2時(shí)，f(x)max=f(

a

2

)=

a2

4

．
③當(dāng)

1+ 2

2

a＜1，即0＜a＜2(

2

-1)時(shí)，f（x）_max=f（1）=1-a．
綜上：當(dāng)a＜2(

2

-1)時(shí)，f（x）_max=1-a；
當(dāng)2(

2

-1)≤a＜2時(shí)，f(x)max=

a2

4

；   當(dāng)a≥2時(shí)，f（x）_max=a-1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查判斷函數(shù)的奇偶性的方法，求函數(shù)最值，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，利用函數(shù)的單調(diào)性求最值，是解題的難點(diǎn)．