Question

設a為實數(shù)，函數(shù)f（x）=x|x-a|，
（1）當-1≤x≤1時，討論f（x）的奇偶性；
（2）當0≤x≤1時，求f（x）的最大值．

Answer 1

分析：（1）當時a=0，經(jīng)檢驗 f（x）為奇函數(shù)，當a≠0時，f（a）=0，f（-a）=-a|-a-a|=-2a|a|≠0，此時f（x）既不是奇函數(shù)又不是偶函數(shù)．
（2）當a≤0時，f（x）_max=f（1）=1-a．當a＞0時，f（x）=|x²-ax|，其圖象如圖所示：分當

a

2

≥1，
 當

a

2

＜1≤

1+ 2

2

a，當

1+ 2

2

a＜1這三種情況，分別利用單調(diào)性求出函數(shù)的最值．

解答：解：（1）當時a=0，f（-x）=-x|-x|=-x|x|=-f（x），
此時f（x）為奇函數(shù)．
當a≠0時，f（a）=0，f（-a）=-a|-a-a|=-2a|a|≠0，
由f（-a）≠f（a）且f（-a）≠-f（a），
此時f（x）既不是奇函數(shù)又不是偶函數(shù)．
（2）當a≤0時，∵0≤x≤1時，f（x）=x（x-a）為增函數(shù)，∴x=1時，f（x）_max=f（1）=1-a．
當a＞0時，∵0≤x≤1，∴f（x）=|x（x-a）|=|x²-ax|，其圖象如圖所示：
①當

a

2

≥1，即a≥2時，f（x）_max=f（1）=a-1．
②當

a

2

＜1≤

1+ 2

2

a，即2(

2

-1)≤a＜2時，f(x)max=f(

a

2

)=

a2

4

．
③當

1+ 2

2

a＜1，即0＜a＜2(

2

-1)時，f（x）_max=f（1）=1-a．
綜上：當a＜2(

2

-1)時，f（x）_max=1-a；
當2(

2

-1)≤a＜2時，f(x)max=

a2

4

；   當a≥2時，f（x）_max=a-1．

點評：本題考查判斷函數(shù)的奇偶性的方法，求函數(shù)最值，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想，利用函數(shù)的單調(diào)性求最值，是解題的難點．