Question

判斷函數(shù)f（x）=

ax

x+1

在（-1，+∞）上的單調(diào)性，并證明．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：設(shè)-1＜x₁＜x₂，求出f（x₁）-f（x₂）的表達(dá)式，通過(guò)討論a的范圍，從而得出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．

解答： 證明：設(shè)-1＜x₁＜x₂，則f（x₁）-f（x₂）=

ax1

x1+1

-

ax2

x2+1

=

ax1(x2+1)-ax2(x1+1)

(x1+1)(x2+1)

=

a(x1-x2)

(x1+1)(x2+1)

∵-1＜x₁＜x₂，
∴x₁-x₂＜0，x₁+1＞0，x₂+1＞0．
∴當(dāng)a＞0時(shí)，f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
∴函數(shù)y=f（x）在（-1，+∞）上單調(diào)遞增．
同理當(dāng)a＜0時(shí)，f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（ x₁）＞f（x₂），
∴函數(shù)y=f（x）在（-1，+∞）上單調(diào)遞減．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的單調(diào)性的證明，考查了分類(lèi)討論思想，是一道中檔題．