Question

已知函數(shù)f（x）=x²+2ax+2，
（Ⅰ）若f（x）在(-∞， 

1

2

]是減函數(shù)，在[

1

2

， +∞)是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的值；
（Ⅱ）求實(shí)數(shù)a的取值范圍，使f（x）在區(qū)間[-5，5]上是單調(diào)函數(shù)，并指出相應(yīng)的單調(diào)性．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值,二次函數(shù)的性質(zhì)

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由f（x）在(-∞， 

1

2

]是減函數(shù)，在[

1

2

， +∞)是增函數(shù)，可知二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸為x=

1

2

=-a，可求a；
（2）由f（x）在區(qū)間[-5，5]上是單調(diào)函數(shù)，說(shuō)明對(duì)稱(chēng)軸在此區(qū)間的一側(cè)，得到區(qū)間端點(diǎn)與對(duì)稱(chēng)軸的關(guān)系．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）=x²+2ax+2=（x+a）²+2-a²，其對(duì)稱(chēng)軸為x=-a，…（2分）
由f（x）在(-∞， 

1

2

]是減函數(shù)，在[

1

2

， +∞)是增函數(shù)，知     -a=

1

2

…（4分）
所以，a=-

1

2

．                                          …（6分）
（Ⅱ）f（x）的對(duì)稱(chēng)軸為x=-a
當(dāng)對(duì)稱(chēng)軸在區(qū)間[-5，5]的左側(cè)時(shí)，函數(shù)y=f（x）在[-5，5]上是單調(diào)增函數(shù)．
所以-a≤-5，即a≥5                     …（8分）
當(dāng)對(duì)稱(chēng)軸在區(qū)間[-5，5]的右側(cè)時(shí)，函數(shù)y=f（x）在[-5，5]上是單調(diào)減函數(shù)．
所以-a≥5      即a≤-5；  …（10分）
即實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-∞，-5]∪[5，+∞）     …（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的單調(diào)性；二次函數(shù)的二次項(xiàng)系數(shù)以及對(duì)稱(chēng)軸與區(qū)間的位置關(guān)系確定了區(qū)間的單調(diào)性．