如圖,棱柱ABCD—A1B1C1D1的所有棱長(zhǎng)都等于2,∠ABC=60°,平面AA1C1C⊥平面ABCD,∠A1AC=60°.

(1)求異面直線BD和AA1所成的角;

(2)求二面角D-A1A-C的平面角的余弦值;

(3)在直線CC1上是否存在點(diǎn)P,使BP∥平面DA1C1?若存在,求出點(diǎn)P的位置;若不存在,說明理由.

說明:理科的立體幾何一般是既可以用幾何法,也可以用建立空間直角坐標(biāo)系利用向量來解決的.

解:法一:連結(jié)BD交AC于O,則BD⊥AC,

連結(jié)A1O,在△AA1O中,AA1=2,AO=1,∠A1AO=60°,

∴A1O2=AA12+AO2-2AA1·AO·cos60°=3.

∴AO2+A1O2=AA12.

∴A1O⊥AO,由于平面AA1C1C⊥平面ABCD,

∴A1O⊥底面ABCD.

∴以O(shè)B、OC、OA1所在直線為x軸、y軸、z軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系,則A(0,-1,0),B(,0,0),C(0,1,0),D(-,0,0),A1(0,0,).

(1)由于=(-2,0,0),=(0,1,),

·=0×(-2)+1×0+×0=0,

∴BD⊥AA1,即異面直線BD和AA1所成的角為90°.

(2)由于OB⊥平面AA1C1C,

∴平面AA1C1C的法向量n1=(1,0,0).

設(shè)n2⊥平面AA1D,則設(shè)n2=(x,y,z),得到n2=(1,,-1).

∴cos〈n1,n2〉=.∴二面角D-A1A-C的平面角的余弦值是.

(3)假設(shè)在直線CC1上存在點(diǎn)P,使BP∥平面DA1C1,

設(shè),P(x,y,z),則(x,y-1,z)=λ(0,1,),

得P(0,1+λ,λ),=(-,1+λ,λ).

設(shè)n3⊥平面DA1C1,則設(shè)n3=(x3,y3,z3),

得到不妨取n3=(1,0,-1).

又因?yàn)?SUB>∥平面DA1C1,則n3·=0,即--λ=0,得λ=-1,

即點(diǎn)P在C1C的延長(zhǎng)線上且使C1C=CP.

法二:(1)過A1作A1O⊥AC于點(diǎn)O,由于平面AA1C1C⊥平面ABCD,

由面面垂直的性質(zhì)定理知,A1O⊥平面ABCD,

又底面為菱形,∴AC⊥BD.AA1BD.

(2)在△AA1O中,AA1=2,∠A1AO=60°,

∴AO=AA1·cos60°=1.

∴O是AC的中點(diǎn),由于底面ABCD為菱形,

∴O也是BD中點(diǎn).

由(1)可知DO⊥平面AA1C,

過O作OE⊥AA1于E點(diǎn),連結(jié)OE,則AA1⊥DE,

則∠DEO為二面角D-AA1-C的平面角,

在菱形ABCD中,AB=2,∠ABC=60°,

∴AC=AB=BC=2.∴AO=1,DO==.

在Rt△AEO中,OE=OA·sin∠EAO=,

DE===.

∴cos∠DEO==.∴二面角DAA1C的平面角的余弦值是.

(3)存在這樣的點(diǎn)P,連結(jié)B1C,∵A1B1ABDC,

∴四邊形A1B1CD為平行四邊形.∴A1D∥B1C.

在C1C的延長(zhǎng)線上取點(diǎn)P,使C1C=CP,連結(jié)BP.

∵B1BC1C,∴B1BCP.∴四邊形BB1CP為平行四邊形,則BP∥B1C.

∴BP∥A1D.∴BP∥平面DA1C1.

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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,棱柱ABCD-A1B1C1D1的所有棱長(zhǎng)都等于2,∠ABC和∠A1B1C1均為60°,平面AA1C1C⊥平面ABCD.
(I)求證:BD⊥AA1
(II)求二面角D-AA1-C的余弦值;
(III)在直線CC1上是否存在點(diǎn)P,使BP∥平面DA1C1,若存在,求出點(diǎn)P的位置,若不存在,請(qǐng)說明理由.

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精英家教網(wǎng)如圖四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD為正方形,側(cè)棱與底邊長(zhǎng)均為a,且∠A1AD=∠A1AB=60°.
①求證四棱錐A1-ABCD為正四棱錐;
②求側(cè)面A1ABB1與截面B1BDD1的銳二面角大。

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17、如圖,棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD為菱形,AC∩BD=O,側(cè)棱AA1⊥BD,點(diǎn)F為DC1的中點(diǎn).
(I) 證明:OF∥平面BCC1B1;
(II)證明:平面DBC1⊥平面ACC1A1

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD為菱形,平面AA1C1C⊥平面ABCD.?
(1)證明:BD⊥AA1;?
(2)證明:平面AB1C∥平面DA1C1
(3)在直線CC1上是否存在點(diǎn)P,使BP∥平面DA1C1?若存在,求出點(diǎn)P的位置;若不存在,說明理由.

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如圖,棱柱ABCD-A1B1C1D1的所有棱長(zhǎng)都等于2,∠ABC=60°,平面AA1CC1⊥平面ABCD,∠A1AC=60°
(1)求二面角D-A1A-C的大小.
(2)求點(diǎn)B1到平面A1ADD1的距離
(3)在直線CC1上是否存在P點(diǎn),使BP∥平面DA1C1,若存在,求出點(diǎn)P的位置;若不存在,說出理由.

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