Question

已知曲線f（x）=xsinx+1在點(diǎn)（

π

2

，1）處的切線與直線l垂直，且直線l與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為之2，則直線l的方程為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專題：導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用,直線與圓

分析：求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線斜率，利用待定系數(shù)法設(shè)出直線方程，即可得到結(jié)論．

解答： 解：函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′（x）=sinx+xcosx，
則函數(shù)在在點(diǎn)（

π

2

，1）處的切線斜率k=f′（

π

2

）=1，
∵直線l和切線垂直，
∴l(xiāng)的斜率k=-1，
設(shè)直線l的方程為y=-x+b，
當(dāng)x=0時(shí)，y=b，
當(dāng)y=0時(shí)，x=b，
∴切線l與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)分別為（b，0），（0，b），
則三角形的面積S=

1

2

b2=2，
即b²=4，解得b=2或b=-2，
故直線方程為y=-x+2或y=-x-2，
故答案為：y=-x+2或y=-x-2

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直線方程的求解，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線斜率是解決本題的關(guān)鍵．