Question

20．如圖所示，過拋物線C：x²=4y的對(duì)稱軸上一點(diǎn)P（0，m）（m＞0）作直線l與拋物線交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）兩點(diǎn)，點(diǎn)Q是點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)．
（Ⅰ） 求證：x₁x₂=-4m；
（Ⅱ） 若$\overrightarrow{AP}$=λ$\overrightarrow{PB}$，且$\overrightarrow{QP}$⊥（$\overrightarrow{QA}$-μ$\overrightarrow{QB}$），求證：λ=μ．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)出直線l的方程，得到方程組，表示出x₁•x₂即可；（Ⅱ）由$\overrightarrow{QP}$⊥（$\overrightarrow{QA}$-μ$\overrightarrow{QB}$），表示出關(guān)于λ，μ的方程，解出即可．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)l方程為：y=kx+m，由

$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{{x}^{2}=4y}\end{array}\right.$得：x²-4kx-4m=0，
所以x₁•x₂=-4m；
（Ⅱ） $\overrightarrow{AP}$=λ$\overrightarrow{PB}$，得$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$=λ，
由$\overrightarrow{QP}$⊥（$\overrightarrow{QA}$-μ$\overrightarrow{QB}$），
得2m[y₁-μy₂+（1-μ）m]=0，
從而$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}$-μ$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{4}$+（1-μ）m=0，
把x₁•x₂=-4m；
代入上式得${（\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}）}^{2}$-（1-μ）$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$-μ=0，
則λ²+（1-μ）λ-μ=0，
所以λ=-1或λ=μ，而顯然λ＞0，
所以λ=μ．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了拋物線問題，考查向量的垂直的性質(zhì)，考查轉(zhuǎn)化思想，是一道中檔題．