Question

某國慶紀(jì)念品，每件成本為30元，每賣出一件產(chǎn)品需向稅務(wù)部門上繳a元（a為常數(shù)，4≤a≤6）的稅收．設(shè)每件產(chǎn)品的售價為x元，根據(jù)市場調(diào)查，當(dāng)35≤x≤40時日銷售量與（

1

e

）^x（e為自然對數(shù)的底數(shù)）成正比．當(dāng)40≤x≤50時日銷售量與x²成反比，已知每件產(chǎn)品的售價為40元時，日銷售量為10件．記該商品的日利潤為L（x）元．
（1）求L（x）關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；
（2）當(dāng)每件產(chǎn)品的售價x為多少元時，才能使L（x）最大，并求出L（x）的最大值．

Answer 1

考點：分段函數(shù)的應(yīng)用,函數(shù)解析式的求解及常用方法,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：應(yīng)用題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）設(shè)出35≤x≤40時，日銷售量為k₁(

1

e

)x，40≤x≤50時，日銷售量為

k2

x2

，再由條件求出比例系數(shù)，從而得到該商品的日利潤L（x）；
（2）運用導(dǎo)數(shù)分別求出35≤x≤40時，40≤x≤50時函數(shù)的最大值，再加以比較，即可得到所求的最大值．

解答： 解：（1）當(dāng)35≤x≤40時，由題意得日銷售量為k₁(

1

e

)x，
售價為40元時，日銷售量為10件，故k₁(

1

e

)40=10，k₁=10e⁴⁰
當(dāng)40≤x≤50時，由題意日銷售量為

k2

x2

售價為40元時，日銷售量為10件，故

k2

1600

=10，k₂=16000
所以該商品的日利潤L（x）=

(x-30-a)• 10e40 ex ，35≤x＜40 (x-30-a)• 16000 x2 ，40≤x＜50

．
（2）當(dāng)35≤x≤40時，L(x)=(x-30-a)

10e40

ex

L′(x)=10e40

31+a-x

ex

，4≤a≤6，35≤31+a≤37，
因為35≤x≤40，令L'（x）=0得x=a+31
當(dāng)35≤x≤a+31時L'（x）＞0
當(dāng)a+31≤x≤40時L'（x）＜0
故L_max（x）=L（a+31）=10e^9-a
當(dāng)40≤x≤50時，L(x)=(x-30-a)

16000

x2

顯然L（x）在40≤x≤50時，
L′(x)=

16000(x2-(x-30-a)2x)

x4

=

16000(-x2+(60+2a)x)

x4

=

16000(60+2a-x)

x3

＞0
所以L（x）在40≤x≤50時為增函數(shù)
故40≤x≤50時L_max（x）=L（50）
又L（a+31）=10e^9-a≥10e³L(50)=

32

5

(20-a)≤

32×16

5

，
故L（a+31）＞L（50）
于是每件產(chǎn)品的售價x為a+31時才能使L（x）最大，L（x）的最大值為10e^9-a

點評：本題考查分段函數(shù)的運用，考查函數(shù)的解析式的求法，考查運用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，屬于中檔題．