Question

已知向量

m

=（1，cosωx），

n

=（sinωx，

3

）（ω＞0），f（x）=

m

•

n

且y=f（x）圖象上一個最高點的坐標(biāo)為（

π

12

，2），與之相鄰的一個最低點的坐標(biāo)為（

7π

12

，-2）
（1）求y=f（x）的解析式
（2）求y=f（x）的遞增區(qū)間
（3）若x∈[0，

π

2

]時，求y=f（x）的最值．

Answer 1

考點：兩角和與差的正弦函數(shù),正弦函數(shù)的單調(diào)性

專題：計算題,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì),平面向量及應(yīng)用

分析：（1）運用數(shù)量積的坐標(biāo)表示，化簡函數(shù)f（x），由相鄰最高點和最低點的坐標(biāo)，求出周期，運用周期公式求出ω，即可得到函數(shù)f（x）的表達式；
（2）運用正弦函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間，令2kπ-

π

2

≤2x+

π

3

≤2kπ+

π

2

，解出x即可；
（3）由x∈[0，

π

2

]時，2x+

π

3

∈[

π

3

，

4π

3

]，sin（2x+

π

3

）∈[-

3

2

，1]，即可得到最值．

解答： 解：（1）f（x）=

m

•

n

=sinωx+

3

cosωx=2（

1

2

sinωx+

3

2

cosωx）=2sin（ωx+

π

3

），
∵y=f（x）圖象上一個最高點的坐標(biāo)為（

π

12

，2），與之相鄰的一個最低點的坐標(biāo)為（

7π

12

，-2）
∴

T

2

=

7π

12

-

π

12

，即T=π，∴ω=

2π

T

=2，
∴f（x）=2sin（2x+

π

3

）
（2）令2kπ-

π

2

≤2x+

π

3

≤2kπ+

π

2

，kπ-

5π

12

≤x≤kπ+

π

12

，k∈Z，
故y=f（x）的遞增區(qū)間是[kπ-

5π

12

，kπ+

π

12

]k∈Z．
（3）x∈[0，

π

2

]時，2x+

π

3

∈[

π

3

，

4π

3

]，
sin（2x+

π

3

）∈[-

3

2

，1]，
則函數(shù)的值域為[-

3

，2]．
故函數(shù)的最大值為2，此時x=

π

12

；最小值為-

3

，此時x=

π

2

．

點評：本題考查三角函數(shù)式的求法，考查三角函數(shù)的單調(diào)性和值域、最值，同時考查平面向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，屬于中檔題．