Question

16．已知集合M：{（x，y）|x²+y²≤1}與集合N：{（x，y）|（x-2）²+y²≤4}，Q（x，y）∈M∩N，則3x+4y的取值范圍是[-4，5]．

Answer 1

分析 先畫出滿足條件的平面區(qū)域，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式求出其范圍即可．

解答 解：若集合M：{（x，y）|x²+y²≤1}，
集合N：{（x，y）|（x-2）²+y²≤4}，
Q（x，y）∈M∩N，
畫出滿足條件的平面區(qū)域，如圖示：
，
令z=3x+4y，得：y=-$\frac{3}{4}$x+$\frac{z}{4}$，
由題意得：直線-$\frac{3}{4}$x-y+$\frac{z}{4}$=0和小圓相切時(shí)：z最大，
此時(shí)小圓的圓心（0，0）到直線的距離d=$\frac{\frac{z}{4}}{\sqrt{\frac{9}{16}+1}}$=1，解得：z=5，
直線-$\frac{3}{4}$x-y+$\frac{z}{4}$=0和大圓相切時(shí)：z最小，
此時(shí)大圓的圓心（2，0）到直線的距離d=$\frac{|-\frac{3}{2}+\frac{z}{4}|}{\sqrt{\frac{9}{16}+1}}$=2，解得：z=-4，
故答案為：[-4，5]．

點(diǎn)評(píng) 不同考查了元素和集合的關(guān)系，考查線性規(guī)劃、點(diǎn)到直線的距離公式，是一道中檔題．