Question

在數(shù)列{an}中，a1=1，a2=

2

，S_n是數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和．當(dāng)n≥2且n∈N^*時(shí)，S_n+1（S_n+1-2S_n）+（2S_n-S_n-1）S_n-1=1，令bn=

a

4 n

(

1

a 4 1

+

1

a 4 2

+

1

a 4 3

+…+

1

a 4 n-1

)．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）試用n和b_n表示b_n+1；
（3）若b₁=1，n∈N^*，證明：(1+

1

b1

)(1+

1

b2

)…(1+

1

bn

)＞

29

9

-

2(n+1)

n(n+2)

．

Answer 1

分析：（1）由S_n+1（S_n+1-2S_n）+（2S_n-S_n-1）S_n-1=1化簡可得數(shù)列{a_n²}是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，求出通項(xiàng)公式開方可得數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）根據(jù)b_n的通項(xiàng)公式得到b_n+1的通項(xiàng)，然后相減得

bn+1

(n+1)2

-

bn

n2

=

1

n2

，移項(xiàng)化簡可得b_n+1；
（3）當(dāng)n=1時(shí)，不等式成立；當(dāng)n≥2時(shí)，列舉b_n各項(xiàng)化簡不等式的左邊，然后當(dāng)k≥2時(shí)，利用

1

k2

≥

1

3

(

1

k-1

-

1

k+2

)即可得證．

解答：解：（1）由S_n+1（S_n+1-2S_n）+（2S_n-S_n-1）S_n-1=1
得（S_n+1-S_n）²-（S_n-S_n-1）²=1，即a_n+1²-a_n²=1（n≥2，n∈N^*）
∴數(shù)列{a_n²}是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列
于是

a

2 n

=n，∴an=

n

(n∈N*)

（2）當(dāng)n≥2時(shí)，∵

bn

n2

=1+

1

22

+

1

32

++

1

(n-1)2

∴

bn+1

(n+1)2

=1+

1

22

+

1

32

++

1

(n-1)2

+

1

n2

．
∴

bn+1

(n+1)2

-

bn

n2

=

1

n2

∴bn+1=

(n+1)2(bn+1)

n2

(n≥2，n∈N*)

（3）當(dāng)n=1時(shí)，1+

1

b1

=2＞

29

9

-

2×2

1×3

=

17

9

，不等式成立；
當(dāng)n≥2時(shí)，由（1）得

bn+1

bn+1

=

n2

(n+1)2

∴(1+

1

b1

)(1+

1

b2

)(1+

1

bn

)=2•

bn+1

(n+1)2

=2(1+

1

22

+

1

32

++

1

n2

)
又當(dāng)k≥2時(shí)，

1

k2

≥

1

3

(

1

k-1

-

1

k+2

)
∴

n

k=1

1

k2

≥1+

1

3

(1+

1

2

+

1

3

-

1

n

-

1

n+1

-

1

n+2

)=

29

18

-

3n2+6n+2

3n(n+1)(n+2)

＞

29

18

-

3n2+6n+3

3n(n+1)(n+2)

=

29

18

-

n+1

n(n+2)

于是當(dāng)n≥2時(shí)，(1+

1

b1

)(1+

1

b2

)(1+

1

bn

)＞

29

9

-

2(n+1)

n(n+2)

綜上所述，對一切n∈N^*，不等式都成立．

點(diǎn)評：考查學(xué)生靈活運(yùn)用數(shù)列解決實(shí)際問題的能力，以及會(huì)求等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和的公式．會(huì)利用數(shù)列進(jìn)行不等式的證明．