Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓：的焦距為2，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)，過(guò)左焦點(diǎn)且不與軸重合的直線與橢圓交于點(diǎn)，兩點(diǎn).

（1）求橢圓的方程；

（2）若直線，，的斜率之和為0，求直線的方程；

（3）設(shè)弦的垂直平分線分別與直線，橢圓的右準(zhǔn)線交于點(diǎn)，，求的最小值.

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）

【解析】

（1）根據(jù)已知求出的值，即得橢圓的的方程；（2）設(shè)直線：，，聯(lián)立直線和橢圓的方程得到韋達(dá)定理，根據(jù)直線，，的斜率之和為0，求出，即得直線的方程；（3）直線的斜率不存在時(shí)，；直線的斜率存在時(shí)，求出.即得解.

（1）因?yàn)闄E圓的焦距為2，所以橢圓的焦點(diǎn)為，

所以點(diǎn)到焦點(diǎn)，的距離分別為，，

故，得．

所以，橢圓的方程為．

（2）依題意，左焦點(diǎn)，設(shè)直線：，，，．

聯(lián)立方程組整理得，

所以，．

因?yàn)橹本�，，的斜率之和為0，所以，

即，整理得，

即，解得．

所以直線的方程為．

（3）若直線的斜率不存在，；

若直線的斜率存在，由（2）可得

，

又，直線的斜率為，，

所以．

故，

令，則，

故

當(dāng)時(shí)，，，

所以．

顯然，，

所以的最小值為2．