【題目】如圖1，在中， ， 分別為， 的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，，.將沿折起到的位置，使得平面平面，如圖2.

（1）求證：；

（2）求直線(xiàn)和平面所成角的正弦值.

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）.

【解析】

（1）由題意可得，又平面平面，且平面平面，平面，所以平面，可證；

（2）以為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，求平面的法向量，用向量的方法求直線(xiàn)和平面所成角的正弦值.

（1）連接.圖1中，，， 分別為， 的中點(diǎn)，，

即，又為的中點(diǎn)，.

又平面平面，且平面平面，平面，

平面，又平面，

.

（2）取中點(diǎn)，連接，則.

由（1）可知平面，平面.

以為原點(diǎn)，分別以所在直線(xiàn)為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示

，，.

，

.

設(shè)平面的法向量為，

則，即，令，則，.

設(shè)直線(xiàn)和平面所成的角為，則

，

所以直線(xiàn)和平面所成角的正弦值為.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4，且經(jīng)過(guò)點(diǎn).

（1）求橢圓的方程；

（2）直線(xiàn)的斜率為，且與橢圓相交于，兩點(diǎn)（異于點(diǎn)），過(guò)作的角平分線(xiàn)交橢圓于另一點(diǎn).證明：直線(xiàn)與坐標(biāo)軸平行.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，四棱錐中，底面，，，，，，為棱的中點(diǎn)．

（1）求證：平面；

（2）求點(diǎn)到平面的距離，

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，橢圓的離心率為，以橢圓的上頂點(diǎn)為圓心作圓，

，圓與橢圓在第一象限交于點(diǎn),在第二象限交于點(diǎn).

（1）求橢圓的方程；

（2）求的最小值，并求出此時(shí)圓的方程；

（3）設(shè)點(diǎn)是橢圓上異于的一點(diǎn)，且直線(xiàn)分別與軸交于點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，求證:

為定值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】海水養(yǎng)殖場(chǎng)進(jìn)行某水產(chǎn)品的新、舊網(wǎng)箱養(yǎng)殖方法的產(chǎn)量對(duì)比，收獲時(shí)各隨機(jī)抽取了100個(gè)網(wǎng)箱，測(cè)量各箱水產(chǎn)品的產(chǎn)量（單位：kg）, 其頻率分布直方圖如下：

（1）記A表示事件“舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于50 kg”，估計(jì)A的概率；

（2）填寫(xiě)下面列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有99%的把握認(rèn)為箱產(chǎn)量與養(yǎng)殖方法有關(guān)：

箱產(chǎn)量＜50 kg

箱產(chǎn)量≥50 kg

舊養(yǎng)殖法

新養(yǎng)殖法

（3）根據(jù)箱產(chǎn)量的頻率分布直方圖，對(duì)這兩種養(yǎng)殖方法的優(yōu)劣進(jìn)行比較.

附：

P（）

0.050 0.010 0.001

k

3.841 6.635 10.828

.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】各項(xiàng)均為非負(fù)整數(shù)的數(shù)列同時(shí)滿(mǎn)足下列條件：

① ；② ；③是的因數(shù)（）．

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，寫(xiě)出數(shù)列的前五項(xiàng)；

（Ⅱ）若數(shù)列的前三項(xiàng)互不相等，且時(shí)， 為常數(shù)，求的值；

（Ⅲ）求證：對(duì)任意正整數(shù)，存在正整數(shù)，使得時(shí)， 為常數(shù)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，在棱長(zhǎng)都相等的正三棱柱中，是棱的中點(diǎn)，是棱上的動(dòng)點(diǎn).設(shè)，隨著增大，平面與底面所成銳二面角的平面角是（ ）

A.增大B.先增大再減小

C.減小D.先減小再增大

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】《高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》(2017 版)規(guī)定了數(shù)學(xué)學(xué)科的六大核心素養(yǎng).為了比較甲、乙兩名高二學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)水平，現(xiàn)以六大素養(yǎng)為指標(biāo)對(duì)二人進(jìn)行了測(cè)驗(yàn)，根據(jù)測(cè)驗(yàn)結(jié)果繪制了雷達(dá)圖(如圖，每項(xiàng)指標(biāo)值滿(mǎn)分為分，分值高者為優(yōu))，則下面敘述正確的是（ ）

(注:雷達(dá)圖(Radar Chart)，又可稱(chēng)為戴布拉圖、蜘蛛網(wǎng)圖(Spider Chart)，可用于對(duì)研究對(duì)象的多維分析)

A.甲的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)高于乙

B.甲的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)優(yōu)于數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)

C.乙的六大素養(yǎng)中邏輯推理最差

D.乙的六大素養(yǎng)整體水平優(yōu)于甲

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓：的焦距為2，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)，過(guò)左焦點(diǎn)且不與軸重合的直線(xiàn)與橢圓交于點(diǎn)，兩點(diǎn).

（1）求橢圓的方程；

（2）若直線(xiàn)，，的斜率之和為0，求直線(xiàn)的方程；

（3）設(shè)弦的垂直平分線(xiàn)分別與直線(xiàn)，橢圓的右準(zhǔn)線(xiàn)交于點(diǎn)，，求的最小值.

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