Question

1．平面α內(nèi)有△ABC，AB=5，BC=8，AC=7，梯形BCDE的底DE=2，過(guò)EB的中點(diǎn)B₁的平面β∥α，若β分別交EA、DC于A₁、C₁，求△A₁B₁C₁的面積．

Answer 1

分析 由梯形中位線定理先求出B₁C₁，再由平面平行的性質(zhì)求出A₁B₁和A₁C₁，然后利用余弦定理和正弦定理能求出△A₁B₁C₁的面積．

解答 解：∵平面β∥α，∴A₁B₁∥AB，B₁C₁∥BC，
∵∠A₁B₁C₁與∠ABC同向，
∴∠A₁B₁C₁=∠ABC，
∵cos$∠ABC=\frac{{5}^{2}+{8}^{2}-{7}^{2}}{2×5×8}$=$\frac{1}{2}$，
∴∠A₁B₁C₁=∠ABC=60°，
∵B₁為EB的中位線，∴B₁A₁是△EAB的中位線，
∴A₁B₁=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{5}{2}$，
同理，B₁C₁是梯形BCDE的中位線，
∴B₁C₁=$\frac{1}{2}（BC+DE）=5$，
∴sin∠A₁B₁C₁=sin60°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴△A₁B₁C₁的面積：
S=$\frac{1}{2}×{A}_{1}{B}_{1}×{B}_{1}{C}_{1}×sin∠{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}$=$\frac{1}{2}$×$\frac{5}{2}×5×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{25\sqrt{3}}{8}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角形的面積的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意平面平行的性質(zhì)、余弦定理和正弦定理的靈活運(yùn)用．